Encontre um conjunto fundamental de soluções, em termos de funções reais, para os sistemas abaixo,
,
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais
e pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções em termos de funções reais.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- São duas equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes.
- As incógnitas são
e . - Queremos um conjunto fundamental de soluções (ou seja, duas soluções linearmente independentes que geram a solução geral por combinação linear).]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
onde
Explicando: a ideia é encontrar vetores próprios
e valores próprios
de
tais que
. Cada par
gera uma solução do tipo
.]
Passo 3
Para achar os valores próprios calculamos o polinômio característico de
:
Aqui
é a matriz identidade
. Vou calcular
.]
Passo 4
Calculemos o determinante:
Expandindo:
Impondo igual a zero:
Resolvendo a equação quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatoração): os zeros são
Portanto os valores próprios são
Passo 5
Agora achamos um autovetor associado a
. Resolvemos
, ou seja
A primeira linha dá
, isto é
. Podemos escolher o autovetor conveniente
Explicação: qualquer múltiplo não nulo é autovetor; escolhemos
por simplicidade.]
Passo 6
Agora o autovetor para
. Resolvemos
:
A primeira linha dá
, ou seja
. Podemos escolher
Passo 7
Cada par
fornece uma solução do sistema dada por
. Assim obtemos duas soluções explícitas:
Explicando: substituindo
em
verifica-se a igualdade porque
e
.]
Passo 8
Precisamos verificar que
e
são linearmente independentes (para serem um conjunto fundamental). Formemos a matriz das soluções no tempo
:
Seu determinante é
logo as colunas são linearmente independentes. Portanto
formam um conjunto fundamental de soluções.]
Passo 9
Escrevendo a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais:
onde
são constantes reais determinadas por condições iniciais.]