Encontre um conjunto fundamental de soluções, em termos de funções reais, para os sistemas abaixo,
\left\{\begin{aligned} x^{\prime}(t) & =2 x(t)+3 y(t) \\\ y^{\prime}(t) & =3 x(t)+2 y(t)\end{aligned}\right.,

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais
\begin{cases} x'(t)=2x(t)+3y(t),\\[4pt] y'(t)=3x(t)+2y(t), \end{cases}
e pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções em termos de funções reais.
Informações relevantes dadas:
  • São duas equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes.
  • As incógnitas são x(t) e y(t).
  • Queremos um conjunto fundamental de soluções (ou seja, duas soluções linearmente independentes que geram a solução geral por combinação linear).]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial
\mathbf{u}'(t)=A\mathbf{u}(t),
onde
\mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Explicando: a ideia é encontrar vetores próprios \mathbf{v} e valores próprios \lambda de A tais que A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. Cada par (\lambda,\mathbf{v}) gera uma solução do tipo \mathbf{u}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}.]

Passo 3

Para achar os valores próprios calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=0.
Aqui I é a matriz identidade 2\times2. Vou calcular \det\big(\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[4pt]3 & 2-\lambda\end{pmatrix}\big).]

Passo 4

Calculemos o determinante:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(2-\lambda)-3\cdot3=(2-\lambda)^2-9.
Expandindo:
(2-\lambda)^2-9=\lambda^2-4\lambda+4-9=\lambda^2-4\lambda-5.
Impondo igual a zero:
\lambda^2-4\lambda-5=0.
Resolvendo a equação quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatoração): os zeros são
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{4\pm6}{2}.
Portanto os valores próprios são
\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=-1.

Passo 5

Agora achamos um autovetor associado a \lambda_1=5. Resolvemos (A-5I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, ou seja
\begin{pmatrix}2-5 & 3\\[4pt]3 & 2-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A primeira linha dá -3v_1+3v_2=0, isto é v_1=v_2. Podemos escolher o autovetor conveniente
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Explicação: qualquer múltiplo não nulo é autovetor; escolhemos (1,1)^T por simplicidade.]

Passo 6

Agora o autovetor para \lambda_2=-1. Resolvemos (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
\begin{pmatrix}2+1 & 3\\[4pt]3 & 2+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A primeira linha dá 3v_1+3v_2=0, ou seja v_1=-v_2. Podemos escolher
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Cada par (\lambda_i,\mathbf{v}_i) fornece uma solução do sistema dada por \mathbf{u}_i(t)=e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i. Assim obtemos duas soluções explícitas:
\mathbf{u}_1(t)=e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}_2(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Explicando: substituindo \mathbf{u}_i(t) em \mathbf{u}'=A\mathbf{u} verifica-se a igualdade porque \mathbf{u}_i'(t)=\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i e A\mathbf{u}_i(t)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i.]

Passo 8

Precisamos verificar que \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 são linearmente independentes (para serem um conjunto fundamental). Formemos a matriz das soluções no tempo t=0:
M=\begin{pmatrix}\mathbf{u}_1(0) & \mathbf{u}_2(0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det(M)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\neq0,
logo as colunas são linearmente independentes. Portanto \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 formam um conjunto fundamental de soluções.]

Passo 9

Escrevendo a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais:
\mathbf{u}(t)=C_1 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes reais determinadas por condições iniciais.]

Resposta

\displaystyle e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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