(4 Pontos) Aplicação: EDO de Segunda Ordem e Sistema 2 \times 2.
Considere um sistema massa-mola, com constante da mola k, massa m, apoiado em uma mesa completamente lisa, em um meio no qual a constante de atrito é \mu. Sabe-se que:
i) A força da mola é sempre no sentido inverso da posição, x(t), isto é, -k x(t).
ii) A força de atrito é sempre proporcional à velocidade, mas no sentido inverso. ou seja, -\mu v(t).
iii) A força resultante é, de acordo com a segunda lei de Newton, a derivada temporal da quantidade de movivemnto, ou seja, F_{R}=d / d t[m v(t)].
(1.5) a) Utilize a segunda Lei de Newton e o fato de que a velocidade é a derivada temporal da posição para deduzir a EDO de segunda ordem associada à posição, sabendo que não há forças externas.
(2.5) b) Mostre que a EDO do item anterior, no caso em que o atrito é nulo pode ser escrita como um sistema do tipo
X^{\prime}(t)=A X(t), \quad \text { com } \quad X(t)=\binom{x(t)}{v(t)}
Resolva o sistema sabendo que \omega^{2}=k / m e com isso APRESENTE A SOLUÇÃO DA EDO.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
(a) Deduzir a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem para a posição x(t) de um sistema massa-mola com atrito viscoso, usando a segunda lei de Newton e a relação entre velocidade e posição.
(b) No caso sem atrito (\mu=0), escrever essa EDO como um sistema de primeira ordem X'(t)=A X(t) com X(t)=\binom{x(t)}{v(t)}, e resolver esse sistema apresentando a solução da EDO.
Informações dadas (valores simbólicos que vamos usar):
Força elástica (restauradora): -k\,x(t).
Força de atrito (viscosa): -\mu\,v(t).
Segunda lei de Newton: força resultante F_R = \dfrac{d}{dt}[m v(t)].
Velocidade é a derivada da posição: v(t)=x'(t).
Não há forças externas além das citadas.
No item (b) teremos \mu=0 e \omega^{2}=k/m.
Passo 2
Entendendo e aplicando a segunda lei de Newton passo a passo.
A quantidade de movimento (momentum) é p(t)=m\,v(t). Como a massa m é constante, a derivada temporal é
\frac{d}{dt}[m v(t)]=m\,\frac{dv}{dt}=m\,a(t),
onde a(t)=v'(t)=x''(t) é a aceleração.
A soma das forças atuando na massa (força elástica + força de atrito) é
F_{\text{tot}} = -k\,x(t) - \mu\,v(t).
A segunda lei diz F_{\text{tot}} = \dfrac{d}{dt}[m v(t)]. Substituindo:
-k\,x(t) - \mu\,v(t) = m\,x''(t).
Passo 3
Colocando a EDO na forma padrão e explicando o significado dos termos.
Rearranjando a equação obtida:
m\,x''(t) + \mu\,x'(t) + k\,x(t) = 0.
Esta é a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Interpretação física rápida:
m\,x'' é a inércia (massa vezes aceleração).
\mu\,x' é o termo de amortecimento (força de atrito proporcional à velocidade).
k\,x é a força restauradora da mola.
Podemos também dividir por m para a forma normalizada:
Em termos da condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}x(0)\\\ v(0)\end{pmatrix}, escolhemos C_{1}=x(0) e C_{2}=\dfrac{v(0)}{\omega}. Assim também se pode escrever a solução matricial (propagador)
(a) m\,x''(t)+\mu\,x'(t)+k\,x(t)=0.
(b) Com \mu=0: X'(t)=A X(t) com X(t)=\binom{x(t)}{v(t)} e A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}. A solução geral é