(4 Pontos) Aplicação: EDO de Segunda Ordem e Sistema 2 \times 2.
Considere um sistema massa-mola, com constante da mola k, massa m, apoiado em uma mesa completamente lisa, em um meio no qual a constante de atrito é \mu. Sabe-se que:
i) A força da mola é sempre no sentido inverso da posição, x(t), isto é, -k x(t).
ii) A força de atrito é sempre proporcional à velocidade, mas no sentido inverso. ou seja, -\mu v(t).
iii) A força resultante é, de acordo com a segunda lei de Newton, a derivada temporal da quantidade de movivemnto, ou seja, F_{R}=d / d t[m v(t)].
(1.5) a) Utilize a segunda Lei de Newton e o fato de que a velocidade é a derivada temporal da posição para deduzir a EDO de segunda ordem associada à posição, sabendo que não há forças externas.
(2.5) b) Mostre que a EDO do item anterior, no caso em que o atrito é nulo pode ser escrita como um sistema do tipo
X^{\prime}(t)=A X(t), \quad \text { com } \quad X(t)=\binom{x(t)}{v(t)}
Resolva o sistema sabendo que \omega^{2}=k / m e com isso APRESENTE A SOLUÇÃO DA EDO.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Deduzir a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem para a posição x(t) de um sistema massa-mola com atrito viscoso, usando a segunda lei de Newton e a relação entre velocidade e posição.
  • (b) No caso sem atrito ( \mu=0), escrever essa EDO como um sistema de primeira ordem X'(t)=A X(t) com X(t)=\binom{x(t)}{v(t)}, e resolver esse sistema apresentando a solução da EDO.
Informações dadas (valores simbólicos que vamos usar):
  • Força elástica (restauradora): -k\,x(t).
  • Força de atrito (viscosa): -\mu\,v(t).
  • Segunda lei de Newton: força resultante F_R = \dfrac{d}{dt}[m v(t)].
  • Velocidade é a derivada da posição: v(t)=x'(t).
  • Não há forças externas além das citadas.
  • No item (b) teremos \mu=0 e \omega^{2}=k/m.

Passo 2

Entendendo e aplicando a segunda lei de Newton passo a passo.
  • A quantidade de movimento (momentum) é p(t)=m\,v(t). Como a massa m é constante, a derivada temporal é
\frac{d}{dt}[m v(t)]=m\,\frac{dv}{dt}=m\,a(t),
onde a(t)=v'(t)=x''(t) é a aceleração.
  • A soma das forças atuando na massa (força elástica + força de atrito) é
F_{\text{tot}} = -k\,x(t) - \mu\,v(t).
  • A segunda lei diz F_{\text{tot}} = \dfrac{d}{dt}[m v(t)]. Substituindo:
-k\,x(t) - \mu\,v(t) = m\,x''(t).

Passo 3

Colocando a EDO na forma padrão e explicando o significado dos termos.
  • Rearranjando a equação obtida:
m\,x''(t) + \mu\,x'(t) + k\,x(t) = 0.
  • Esta é a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Interpretação física rápida:
    • m\,x'' é a inércia (massa vezes aceleração).
    • \mu\,x' é o termo de amortecimento (força de atrito proporcional à velocidade).
    • k\,x é a força restauradora da mola.
  • Podemos também dividir por m para a forma normalizada:
x''(t) + \frac{\mu}{m}\,x'(t) + \frac{k}{m}\,x(t) = 0.

Passo 4

Preparando o caso sem atrito ( \mu=0) e escrevendo como sistema de primeira ordem.
  • Se \mu=0 a EDO fica
m\,x''(t) + k\,x(t) = 0,
ou, dividindo por m,
x''(t) + \frac{k}{m}\,x(t) = 0.
  • Defina o vetor de estado
X(t)=\binom{x(t)}{v(t)},\qquad\text{onde}\quad v(t)=x'(t).
  • Então X'(t)=\binom{x'(t)}{v'(t)}=\binom{v(t)}{x''(t)}. Usando x''(t) = -\dfrac{k}{m}\,x(t) obtemos o sistema
X'(t)=A\,X(t),
com a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvendo a EDO escalar associada (método mais direto) e obtendo a solução do sistema.
  • Introduzimos \omega por \omega^{2}=\dfrac{k}{m}. A EDO sem atrito fica
x''(t) + \omega^{2}\,x(t) = 0.
  • Método de solução (equação característica): suponha solução da forma x(t)=e^{r t}. Substituindo dá a equação característica
r^{2} + \omega^{2} = 0.
As raízes são r=\pm i\omega.
  • Como as raízes são imaginárias complexas conjugadas, a solução geral real é dada por combinações de cosseno e seno:
x(t) = C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo, C_{1}=x(0) e C_{2}=x'(0)/\omega).
  • A velocidade é a derivada:
v(t)=x'(t) = -C_{1}\,\omega\sin(\omega t) + C_{2}\,\omega\cos(\omega t).

Passo 6

Escrevendo a solução do sistema em forma de vetor e, opcionalmente, em termos de condição inicial.
  • O vetor solução é
X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt] v(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t) \\[6pt] - C_{1}\,\omega\sin(\omega t) + C_{2}\,\omega\cos(\omega t) \end{pmatrix}.
  • Em termos da condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}x(0)\\\ v(0)\end{pmatrix}, escolhemos C_{1}=x(0) e C_{2}=\dfrac{v(0)}{\omega}. Assim também se pode escrever a solução matricial (propagador)
X(t)=\begin{pmatrix} \cos(\omega t) & \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t) \\[6pt] -\,\omega\sin(\omega t) & \cos(\omega t) \end{pmatrix} X(0).]

Resposta

(a) m\,x''(t)+\mu\,x'(t)+k\,x(t)=0.
(b) Com \mu=0: X'(t)=A X(t) com X(t)=\binom{x(t)}{v(t)} e A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}. A solução geral é
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t),\qquad v(t)= -C_{1}\,\omega\sin(\omega t)+C_{2}\,\omega\cos(\omega t),
onde \omega^{2}=\dfrac{k}{m} (e, se desejado, C_{1}=x(0), C_{2}=v(0)/\omega).

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