Em um mesmo gráfico, represente as funções que se pedem:
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\operatorname{sen}^{2} \boldsymbol{x} e \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\cos ^{2} \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado pede para representar, no mesmo gráfico, as funções f(x)=\sin^{2}x e g(x)=\cos^{2}x. Informações dadas e o que é exigido:
  • Funções: f(x)=\sin^{2}x e g(x)=\cos^{2}x.
  • Domínio implícito: todos os x\in\mathbb{R} (ou, para desenhar, um intervalo típico como [0,2\pi]).
  • Objetivo: desenhar as duas curvas no mesmo sistema de eixos, identificando forma, amplitude, período, máximos, mínimos e pontos de interseção.

Passo 2

Identidades úteis (aulas rápidas que você pode usar na prova).
  • Identidade pitagórica básica:
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
isto é, as duas funções somam sempre 1.
  • Fórmulas de “ângulo duplo” que tornam o gráfico fácil de desenhar:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2},\qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Explicação rápida de onde vem: \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x. Somando com \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e isolando cada quadrado aparece a fórmula acima. Essas expressões mostram que cada função é uma cossenoide de amplitude \tfrac{1}{2} deslocada verticalmente por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Período, amplitude, nível médio e intervalo de valores.
  • A função \cos(2x) tem período \pi, portanto \sin^{2}x e \cos^{2}x têm período \pi. Ou seja, o padrão se repete a cada \pi.
  • Ambas têm amplitude \tfrac{1}{2} em torno do valor médio \tfrac{1}{2}. Mais intuitivamente:
\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos(2x),\qquad \cos^{2}x=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos(2x).
  • Intervalo de valores:
0\le \sin^{2}x\le 1,\qquad 0\le \cos^{2}x\le 1.
  • Máximos e mínimos:
    • \sin^{2}x=1 quando \sin x=\pm 1, isto é x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
    • \sin^{2}x=0 quando \sin x=0, isto é x=k\pi.
    • \cos^{2}x=1 quando \cos x=\pm 1, isto é x=k\pi.
    • \cos^{2}x=0 quando \cos x=0, isto é x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 4

Pontos importantes e tabela de valores em [0,2\pi] (muito útil para desenhar à mão).
Calculemos \sin^{2}x e \cos^{2}x nos pontos padrão:
  • Em x=0:
\sin^{2}0=0,\qquad \cos^{2}0=1.
  • Em x=\tfrac{\pi}{4}:
\sin^{2}\tfrac{\pi}{4}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2},\qquad \cos^{2}\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{1}{2}.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}:
\sin^{2}\tfrac{\pi}{2}=1,\qquad \cos^{2}\tfrac{\pi}{2}=0.
  • Em x=\tfrac{3\pi}{4}:
\sin^{2}\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{1}{2},\qquad \cos^{2}\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{1}{2}.
  • Em x=\pi:
\sin^{2}\pi=0,\qquad \cos^{2}\pi=1.
  • Em x=\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{7\pi}{4},2\pi os valores repetem o padrão acima (por periodicidade \pi e simetria).
Use essa tabela como pontos-guia ao desenhar.

Passo 5

Pontos de interseção (onde as duas curvas se cruzam) e relação entre elas.
  • Igualando:
\sin^{2}x=\cos^{2}x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin^{2}x-\cos^{2}x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\cos(2x)=0,
ou diretamente \cos(2x)=0.
  • Solução:
2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}.
Ou seja, elas se cruzam em x=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\dots e em todos esses pontos valem \tfrac{1}{2}.
  • Observação prática: as duas curvas são reflexos uma da outra em relação à reta y=\tfrac{1}{2}, porque f(x)+g(x)=1.

Passo 6

Relação de fase (deslocamento): como obter uma a partir da outra.
  • Note que
\sin^{2}\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos^{2}x.
Isto mostra que \cos^{2}x é a função \sin^{2}x deslocada horizontalmente por -\tfrac{\pi}{2} (ou vice-versa). Na prática, os picos de uma coincidem com os vales da outra deslocados por \tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Como desenhar passo a passo à mão (estratégia para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe eixos x e y. No eixo y marque 0, \tfrac{1}{2} e 1. No eixo x marque divisões por \tfrac{\pi}{4} (ou pelo menos \tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi, \dots até o intervalo desejado, por exemplo [0,2\pi]).
  2. Plote os pontos da tabela do Passo 4 para ambas as funções (use cores/ou estilos diferentes: por exemplo, f em azul e g em vermelho).
  3. Lembre-se que cada curva é uma cossenoide com amplitude \tfrac{1}{2} em torno de \tfrac{1}{2} e período \pi. Portanto, entre os pontos marcados desenhe uma curva suave que oscila entre 0 e 1, atingindo 1 e 0 alternadamente a cada \tfrac{\pi}{2}.
  4. Verifique que em x=0 a curva g (coseno ao quadrado) está em 1 e f em 0; em x=\tfrac{\pi}{2} invertem-se; em x=\tfrac{\pi}{4} estão iguais em \tfrac{1}{2}.
  5. Se quiser um desenho mais “analítico”, desenhe primeiro \cos(2x) (período \pi, amplitude 1), multiplique por \tfrac{1}{2} e some \tfrac{1}{2} para obter \cos^{2}x; inverter o sinal de \cos(2x) antes de multiplicar dá \sin^{2}x.

Passo 8

Observações finais que ajudam na prova e interpretação rápida:
  • Por f(x)+g(x)=1, ao desenhar uma função já se sabe automaticamente a outra: basta refletir em y=\tfrac{1}{2}.
  • Período curto ( \pi) significa que num intervalo [0,2\pi] haverá exatamente duas oscilações completas.
  • Pontos de máximo e mínimo alternam a cada \tfrac{\pi}{2}: um pico de f corresponde a vale de g, e vice-versa.
  • Dica motivadora: desenhar os pontos chave e usar a reflexão em y=\tfrac{1}{2} corta bastante trabalho — ótimo para prova com tempo curto!

Resposta

No mesmo gráfico: traçar f(x)=\sin^{2}x e g(x)=\cos^{2}x em [0,2\pi] como duas ondas periódicas de período \pi, amplitude \tfrac{1}{2} centradas em y=\tfrac{1}{2}; valores-chave:
  • f(0)=0,\\ g(0)=1.
  • f(\tfrac{\pi}{4})=g(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{2}.
  • f(\tfrac{\pi}{2})=1,\\ g(\tfrac{\pi}{2})=0.
  • Interseções em x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2} (valor \tfrac{1}{2}).
  • Relação: f(x)+g(x)=1 e g(x)=f\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Exercícios relacionados