Em um mesmo gráfico, represente as funções que se pedem:
e
Passo 1
O enunciado pede para representar, no mesmo gráfico, as funções
e
. Informações dadas e o que é exigido:
- Funções:
e . - Domínio implícito: todos os
(ou, para desenhar, um intervalo típico como ). - Objetivo: desenhar as duas curvas no mesmo sistema de eixos, identificando forma, amplitude, período, máximos, mínimos e pontos de interseção.
Passo 2
Identidades úteis (aulas rápidas que você pode usar na prova).
- Identidade pitagórica básica:
isto é, as duas funções somam sempre
.
- Fórmulas de “ângulo duplo” que tornam o gráfico fácil de desenhar:
Explicação rápida de onde vem:
. Somando com
e isolando cada quadrado aparece a fórmula acima. Essas expressões mostram que cada função é uma cossenoide de amplitude
deslocada verticalmente por
.
Passo 3
Período, amplitude, nível médio e intervalo de valores.
- A função
tem período , portanto e têm período . Ou seja, o padrão se repete a cada . - Ambas têm amplitude
em torno do valor médio . Mais intuitivamente:
- Intervalo de valores:
- Máximos e mínimos:
-
quando , isto é . -
quando , isto é . -
quando , isto é . -
quando , isto é .
-
Passo 4
Pontos importantes e tabela de valores em
(muito útil para desenhar à mão).
Calculemos e
nos pontos padrão:
Calculemos
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
os valores repetem o padrão acima (por periodicidade e simetria).
Use essa tabela como pontos-guia ao desenhar.
Passo 5
Pontos de interseção (onde as duas curvas se cruzam) e relação entre elas.
- Igualando:
ou diretamente
.
- Solução:
Ou seja, elas se cruzam em
e em todos esses pontos valem
.
- Observação prática: as duas curvas são reflexos uma da outra em relação à reta
, porque .
Passo 6
Relação de fase (deslocamento): como obter uma a partir da outra.
- Note que
Isto mostra que
é a função
deslocada horizontalmente por
(ou vice-versa). Na prática, os picos de uma coincidem com os vales da outra deslocados por
.
Passo 7
Como desenhar passo a passo à mão (estratégia para a prova, sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . No eixo marque , e . No eixo marque divisões por (ou pelo menos até o intervalo desejado, por exemplo ). - Plote os pontos da tabela do Passo 4 para ambas as funções (use cores/ou estilos diferentes: por exemplo,
em azul e em vermelho). - Lembre-se que cada curva é uma cossenoide com amplitude
em torno de e período . Portanto, entre os pontos marcados desenhe uma curva suave que oscila entre e , atingindo e alternadamente a cada . - Verifique que em
a curva (coseno ao quadrado) está em e em ; em invertem-se; em estão iguais em . - Se quiser um desenho mais “analítico”, desenhe primeiro
(período , amplitude ), multiplique por e some para obter ; inverter o sinal de antes de multiplicar dá .
Passo 8
Observações finais que ajudam na prova e interpretação rápida:
- Por
, ao desenhar uma função já se sabe automaticamente a outra: basta refletir em . - Período curto (
) significa que num intervalo haverá exatamente duas oscilações completas. - Pontos de máximo e mínimo alternam a cada
: um pico de corresponde a vale de , e vice-versa. - Dica motivadora: desenhar os pontos chave e usar a reflexão em
corta bastante trabalho — ótimo para prova com tempo curto!
Resposta
No mesmo gráfico: traçar
e
em
como duas ondas periódicas de período
, amplitude
centradas em
; valores-chave:
-
. -
. -
. - Interseções em
(valor ). - Relação:
e .