Encontre um conjunto fundamental de soluções, em termos de funções reais, para os sistemas abaixo, \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right) \mathbf{X}.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
e pede: encontre um conjunto fundamental de soluções em termos de funções reais (ou seja, 3 soluções linearmente independentes que gerem o espaço de soluções).
Informações relevantes dadas:
A matriz A é a indicada acima (listei seus elementos).
O objetivo é produzir três soluções independentes \mathbf{X}_1(t),\mathbf{X}_2(t),\mathbf{X}_3(t) reais que formem uma base do espaço de soluções.]
Passo 2
Primeiro passo prático: achar os autovalores de A. Uma observação útil (muito usada em provas): para uma matriz triangular (superior ou inferior) os autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Aqui A é triangular superior, então os autovalores são
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=3,\quad \lambda_3=4,
ou seja, \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=4 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 3
Agora encontramos os autovetores para \lambda=3. Precisamos resolver
Observação: a multiplicidade geométrica é 1 (há só uma direção de autovetores), menor que a multiplicidade algébrica 2. Portanto precisamos encontrar um autovetor generalizado para completar a base.]
Passo 4
Procuramos um vetor generalizado \mathbf{w} tal que
(A-3I)\mathbf{w}=\mathbf{v},
onde \mathbf{v}=(0,1,-2)^T. Escreva \mathbf{w}=(x,y,z)^T. Então
Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)^T, da primeira linha vem -u_1=0 ⇒ u_1=0. Da segunda linha u_1-u_2=0 ⇒ com u_1=0 segue u_2=0. A terceira linha fica 3u_1+2u_2+0\cdot u_3=0 ⇒ 0=0. Assim u_3 é livre; podemos escolher
Usando A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} e A\mathbf{w}=\lambda\mathbf{w}+\mathbf{v} (esta última equivalência é exatamente (A-\lambda I)\mathbf{w}=\mathbf{v}), vemos que \frac{d}{dt}\mathbf{X}=A\mathbf{X}. Portanto a fórmula está correta.
Passo 7
Aplicando as fórmulas com os vetores encontrados:
Para \lambda=3 e autovetor \mathbf{v}=(0,1,-2)^T obtemos a solução
Formando a matriz cujas colunas são esses vetores e calculando o determinante, obtém‑se -1\neq0, logo são linearmente independentes. Portanto \{\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3\} é um conjunto fundamental de soluções.]