Encontre um conjunto fundamental de soluções, em termos de funções reais, para os sistemas abaixo,
\mathrm{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right) \mathrm{X}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de ordem 1
\mathrm{X}' = A\,\mathrm{X}
com a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0 \\[4pt] 3 & 2 & 4\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar um conjunto fundamental de soluções reais (ou seja, três soluções linearmente independentes) para este sistema. Vou usar somente as informações acima; nada mais é necessário.]

Passo 2

Ideia do método (explicação curta e prática): para sistemas lineares com coeficientes constantes, vetores próprios (autovetores) de A produzem soluções da forma \mathrm{v}\,e^{\lambda t}, onde \lambda é autovalor correspondente e \mathrm{v} o autovetor. Assim o primeiro passo é achar os autovalores de A, resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.

Passo 3

Calcular o polinômio característico. Escrevendo A-\lambda I e a determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & 0 \\[4pt] 3 & 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
Como há zeros convenientemente posicionados, a determinante fatoriza diretamente:
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=(3-\lambda)^2(4-\lambda).
Portanto os autovalores são \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=4 (multiplicidade algébrica 1).]

Passo 4

Agora calcular autovetores para \lambda=3. Resolvemos (A-3I)\mathrm{v}=\mathrm{0}. A matriz A-3I é
A-3I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Isso gera as equações (as duas primeiras são triviais) e da terceira obtemos
3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0.
Para parametrizar o espaço próprio, vamos tomar x_1,x_2,x_3 com dois graus de liberdade. Uma parametrização simples: escolha x_2=s,\\ x_1=r. Então x_3 = -3r - 2s. Tomando escolhas particulares para obter vetores simples:
  • Escolhendo r=0,\\ s=1 obtemos o autovetor
\mathrm{v}_1=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},
pois 3\cdot0+2\cdot1+(-2)=0.
  • Escolhendo r=1,\\ s=0 obtemos o autovetor
\mathrm{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix},
pois 3\cdot1+2\cdot0+(-3)=0.
Esses dois vetores são independentes e pertencem ao autespaço associado a \lambda=3.]

Passo 5

Calcular autovetores para \lambda=4. Resolvendo (A-4I)\mathrm{v}=\mathrm{0}. A matriz A-4I é
A-4I=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 3 & 2 & 0\end{pmatrix}.
As duas primeiras equações dão x_1=0 e x_2=0. A terceira fica 3\cdot0+2\cdot0+0\cdot x_3=0, que é automática. Logo x_3 é livre; tomamos a escolha canônica
\mathrm{v}_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
que é um autovetor associado a \lambda=4.]

Passo 6

Verificar independência linear dos três autovetores \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3. Formando a matriz cujas colunas são esses vetores:
M=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] -2 & -3 & 1\end{pmatrix}.
Calcular o determinante de M: expandindo pela primeira linha,
\det M = -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} = -1\cdot(1\cdot1 - 0\cdot(-2)) = -1 \ne 0.
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes. Assim temos três soluções linearmente independentes.]

Passo 7

Construir as soluções correspondentes: para cada autovalor \lambda e autovetor \mathrm{v}, a função \mathrm{X}(t)=\mathrm{v}\,e^{\lambda t} é solução do sistema. Portanto as três soluções independentes são
\mathrm{X}_1(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} e^{3t},\qquad \mathrm{X}_2(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix} e^{3t},\qquad \mathrm{X}_3(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} e^{4t}.
Qualquer combinação linear \mathrm{X}(t)=c_1\mathrm{X}_1(t)+c_2\mathrm{X}_2(t)+c_3\mathrm{X}_3(t) (com constantes reais c_1,c_2,c_3) é a solução geral do sistema.]

Resposta

\mathrm{X}_1(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}e^{3t}
\mathrm{X}_2(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}e^{3t}
\mathrm{X}_3(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{4t}]

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