Encontre um conjunto fundamental de soluções, em termos de funções reais, para os sistemas abaixo, \mathrm{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right) \mathrm{X}.
O que se pede: encontrar um conjunto fundamental de soluções reais (ou seja, três soluções linearmente independentes) para este sistema. Vou usar somente as informações acima; nada mais é necessário.]
Passo 2
Ideia do método (explicação curta e prática): para sistemas lineares com coeficientes constantes, vetores próprios (autovetores) de A produzem soluções da forma \mathrm{v}\,e^{\lambda t}, onde \lambda é autovalor correspondente e \mathrm{v} o autovetor. Assim o primeiro passo é achar os autovalores de A, resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Escrevendo A-\lambda I e a determinante:
Isso gera as equações (as duas primeiras são triviais) e da terceira obtemos
3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0.
Para parametrizar o espaço próprio, vamos tomar x_1,x_2,x_3 com dois graus de liberdade. Uma parametrização simples: escolha x_2=s,\\ x_1=r. Então x_3 = -3r - 2s. Tomando escolhas particulares para obter vetores simples:
As duas primeiras equações dão x_1=0 e x_2=0. A terceira fica 3\cdot0+2\cdot0+0\cdot x_3=0, que é automática. Logo x_3 é livre; tomamos a escolha canônica
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes. Assim temos três soluções linearmente independentes.]
Passo 7
Construir as soluções correspondentes: para cada autovalor \lambda e autovetor \mathrm{v}, a função \mathrm{X}(t)=\mathrm{v}\,e^{\lambda t} é solução do sistema. Portanto as três soluções independentes são
Qualquer combinação linear \mathrm{X}(t)=c_1\mathrm{X}_1(t)+c_2\mathrm{X}_2(t)+c_3\mathrm{X}_3(t) (com constantes reais c_1,c_2,c_3) é a solução geral do sistema.]