Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial mathbb{R}^{4}.
W=\left{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=0\right.) e \left.y+z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um conjunto de geradores para o subespaço W de \mathbb{R}^{4} dado por
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=0\\ \text{e}\\ y+z=0\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A coordenada x é obrigatoriamente 0.
  • As coordenadas y e z satisfazem y+z=0, ou seja, são ligadas por uma equação linear.
  • A coordenada t não aparece nas restrições, então parece livre.
    Pergunta que devemos responder: fornecer um (ou mais) conjuntos de vetores que gerem W (isto é, cujo espaço gerado seja exatamente W).

Passo 2

Como vamos proceder (explicação do método, sem cálculos ainda): quando um subespaço é dado por equações lineares nas coordenadas, o método padrão é parametrizar as coordenadas livres e escrever um vetor genérico de W em função desses parâmetros. Isso transforma as equações em uma combinação linear de vetores “geradores” (cada parâmetro multiplica um vetor). Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Resolver as equações impostas pelas condições de W. As restrições são
x=0
e
y+z=0.
Da segunda equação isolamos z:
z=-y.
Logo um vetor genérico de W tem a forma
( x,y,z,t ) = (0,y,-y,t).
Agora escolhemos parâmetros para as coordenadas livres. Podemos tomar y e t como parâmetros livres; chamo-os de s e u para clareza:
y=s,\qquad t=u.
Substituindo:
(0,y,-y,t)=(0,s,-s,u).

Passo 4

Escrever o vetor genérico como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros. Separando os termos com s e u obtemos
(0,s,-s,u)=s\,(0,1,-1,0)+u\,(0,0,0,1).
Isto mostra que todo vetor de W é combinação linear dos vetores
v_{1}=(0,1,-1,0)\quad\text{e}\quad v_{2}=(0,0,0,1).
Portanto \{v_{1},v_{2}\} gera W, ou seja,
W\subseteq\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 5

Mostrar a inclusão recíproca (qualquer combinação desses vetores está em W), para garantir que o conjunto gerador é exatamente W. Seja a,b\in\mathbb{R}. A combinação
a\,v_{1}+b\,v_{2}=a(0,1,-1,0)+b(0,0,0,1)=(0,a,-a,b).
Verificamos as condições de W: a primeira coordenada é 0 e a soma da segunda com a terceira é a+(-a)=0. Logo qualquer combinação está em W, isto é,
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}\subseteq W.
Com as duas inclusões concluímos que
W=\operatorname{span}\{(0,1,-1,0),(0,0,0,1)\}.

Passo 6

Verificar se o conjunto é mínimo (opcional, mas útil: checar independência linear para saber se é base). Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} com
\alpha(0,1,-1,0)+\beta(0,0,0,1)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema de coordenadas: 0=0 (primeira), \alpha=0 (segunda), -\alpha=0 (terceira) e \beta=0 (quarta). Assim \alpha=\beta=0. Logo v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Portanto \{v_{1},v_{2}\} é uma base de W e \dim W=2.

Resposta

\displaystyle W=\operatorname{span}\{(0,1,-1,0),(0,0,0,1)\}

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