Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial
.
W=\left{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=0\right.) e
.
W=\left{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=0\right.) e
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
de
dado por
Informações relevantes fornecidas:
- A coordenada
é obrigatoriamente . - As coordenadas
e satisfazem , ou seja, são ligadas por uma equação linear. - A coordenada
não aparece nas restrições, então parece livre.
Pergunta que devemos responder: fornecer um (ou mais) conjuntos de vetores que gerem(isto é, cujo espaço gerado seja exatamente ).
Passo 2
Como vamos proceder (explicação do método, sem cálculos ainda): quando um subespaço é dado por equações lineares nas coordenadas, o método padrão é parametrizar as coordenadas livres e escrever um vetor genérico de
em função desses parâmetros. Isso transforma as equações em uma combinação linear de vetores “geradores” (cada parâmetro multiplica um vetor). Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Resolver as equações impostas pelas condições de
. As restrições são
e
Da segunda equação isolamos
:
Logo um vetor genérico de
tem a forma
Agora escolhemos parâmetros para as coordenadas livres. Podemos tomar
e
como parâmetros livres; chamo-os de
e
para clareza:
Substituindo:
Passo 4
Escrever o vetor genérico como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros. Separando os termos com
e
obtemos
Isto mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
Portanto
gera
, ou seja,
Passo 5
Mostrar a inclusão recíproca (qualquer combinação desses vetores está em
), para garantir que o conjunto gerador é exatamente
. Seja
. A combinação
Verificamos as condições de
: a primeira coordenada é
e a soma da segunda com a terceira é
. Logo qualquer combinação está em
, isto é,
Com as duas inclusões concluímos que
Passo 6
Verificar se o conjunto é mínimo (opcional, mas útil: checar independência linear para saber se é base). Suponha que existam
com
Isso dá o sistema de coordenadas:
(primeira),
(segunda),
(terceira) e
(quarta). Assim
. Logo
e
são linearmente independentes. Portanto
é uma base de
e
.