Questão 13 Mostre que
, onde
é uma matriz dada de
é um subespaço vetorial de
.
Questão 14 Verifique se
é ou não um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Enunciado e o que se pede. \n
Questão 13: Foi dada uma matriz fixa . Definimos
Questão 13: Foi dada uma matriz fixa
A pergunta é: mostrar que
é um subespaço vetorial de
. \n
Questão 14: Definimos
Questão 14: Definimos
A pergunta é: verificar se esse
é ou não um subespaço vetorial de
. \n
Informações relevantes dadas: em ambas as questões é um subconjunto de
(ou
), e temos condições que caracterizam os elementos de
(comutarem com
na Q13; serem idempotentes na Q14). Nada mais foi pedido além de decidir se
é subespaço.
Informações relevantes dadas: em ambas as questões
Passo 2
Definição e critério prático de subespaço (aula rápida). \n
Uma parte importante antes de começar: o espaço é o espaço vetorial de todas as matrizes
com entradas reais, com adição usual e multiplicação por escalar usual. \n
Definição prática de subespaço: Um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes e fáceis de verificar: \n
Uma parte importante antes de começar: o espaço
Definição prática de subespaço: Um subconjunto
-
não é vazio (ou equivalentemente , onde é a matriz nula). \n - Fechado sob adição: se
então . \n - Fechado sob multiplicação por escalar: se
e então . \n
Explicação didática: essas condições bastam porque qualquer combinação linearpode ser construída por repetidas aplicações de adição e multiplicação por escalar. Na prova você normalmente mostra e as duas fechamentos; aí já está feito.
Passo 3
Aplicando o critério à Questão 13 — verificar que
. \n
Mostro primeiro que a matriz nula (todas as entradas zero) pertence a
. Calculo:
Mostro primeiro que a matriz nula
Como
, segue que
. \n
Comentário didático: aqui usei a propriedade básica de matrizes de que multiplicar a matriz nula por qualquer matriz dá a matriz nula.
Comentário didático: aqui usei a propriedade básica de matrizes de que multiplicar a matriz nula por qualquer matriz dá a matriz nula.
Passo 4
Aplicando o critério à Questão 13 — fechado sob adição. \n
Tomemos . Isso significa, por definição de
, que
Tomemos
Queremos mostrar que
também comuta com
, isto é
. Compute:
pela distributividade da multiplicação de matrizes sobre adição. Como
e
, substituindo obtemos
Logo
, então
. \n
Explicação didática: aqui usei duas propriedades simples de matrizes: distributividade e a hipótese de comutação para cada um.
Explicação didática: aqui usei duas propriedades simples de matrizes: distributividade
Passo 5
Aplicando o critério à Questão 13 — fechado sob multiplicação por escalar. \n
Se e
, então
. Quero ver se
. Calculo:
Se
pelo fato de que escalar sai da multiplicação pela esquerda. Como
, temos
. Portanto
e
. \n
Comentário didático: usei a associatividade e a compatibilidade da multiplicação por escalar com multiplicação de matrizes.
Comentário didático: usei a associatividade e a compatibilidade da multiplicação por escalar com multiplicação de matrizes.
Passo 6
Conclusão da Questão 13. \n
Juntando os passos anteriores: ,
é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Pelo critério de subespaço,
é subespaço vetorial de
. \n
Intuição amigável: é o conjunto de todas as matrizes que “comutam” com uma matriz fixa
. Fechar por soma e escala é natural porque a propriedade de comutar com
se preserva por soma e por multiplicação por escalar.
Juntando os passos anteriores:
Intuição amigável:
Passo 7
Aplicando o critério à Questão 14 — verificar
. \n
Para verificamos a matriz nula
:
Para
logo
. Isso satisfaz a não vacuidade, mas ainda precisamos checar os fechamentos.
Passo 8
Tentativa de fechamento por adição e contraexemplo (fatiando a esperança). \n
Para que fosse subespaço, precisaria ser fechado por adição: se
então
, ou seja
. Vou dar um contraexemplo simples que mostra que isso falha. \n
Escolha e
, onde
é a matriz identidade
. Observações:
Para que
Escolha
então
e
. Agora calcule a soma:
Verifiquemos se
é idempotente:
Como
, concluímos que
. Portanto
não é fechado por adição e, logo, não é subespaço vetorial. \n
Comentário didático: usar é um truque simples —
é idempotente, e somar
consigo mesmo dá
, que não é idempotente. Isso já basta para derrubar a propriedade de subespaço.
Comentário didático: usar
Passo 9
Observação adicional sobre multiplicação por escalar (por reforço). \n
Mostro também por que não é fechado sob multiplicação por escalar (isso não é necessário depois do contraexemplo, mas é didático). Seja
com
e
. Temos
Mostro também por que
Para que
seja idempotente precisamos que
, ou seja
Se
, isso implica
, ou
, logo
ou
. Portanto, para um idempotente não-nulo, apenas escalares
e
preservam a idempotência. Em particular, multiplicar por
falha:
não é idempotente. \n
Conclusão: há falha tanto na adição quanto em escala, portanto não é subespaço.
Conclusão: há falha tanto na adição quanto em escala, portanto
Resposta
Questão 13:
é um subespaço vetorial de
.\n
Questão 14: não é um subespaço vetorial de
.
Questão 14: