Questão 13 Mostre que W=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R}) ; A T=T A\right\}, onde T é uma matriz dada de M_{n}(\mathbb{R}) é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).
Questão 14 Verifique se W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A^{2}=A\right\} é ou não um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

Enunciado e o que se pede. \n
Questão 13: Foi dada uma matriz fixa T\in M_{n}(\mathbb{R}). Definimos
W=\{A\in M_{n}(\mathbb{R}) \mid AT=TA\}.
A pergunta é: mostrar que W é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}). \n
Questão 14: Definimos
W=\{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=A\}.
A pergunta é: verificar se esse W é ou não um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}). \n
Informações relevantes dadas: em ambas as questões W é um subconjunto de M_{n}(\mathbb{R}) (ou M_{2}(\mathbb{R})), e temos condições que caracterizam os elementos de W (comutarem com T na Q13; serem idempotentes na Q14). Nada mais foi pedido além de decidir se W é subespaço.

Passo 2

Definição e critério prático de subespaço (aula rápida). \n
Uma parte importante antes de começar: o espaço M_{n}(\mathbb{R}) é o espaço vetorial de todas as matrizes n\times n com entradas reais, com adição usual e multiplicação por escalar usual. \n
Definição prática de subespaço: Um subconjunto W\subseteq M_{n}(\mathbb{R}) é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes e fáceis de verificar: \n
  1. W não é vazio (ou equivalentemente 0\in W, onde 0 é a matriz nula). \n
  2. Fechado sob adição: se A,B\in W então A+B\in W. \n
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se A\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda A\in W. \n
    Explicação didática: essas condições bastam porque qualquer combinação linear \lambda_{1}A_{1}+\cdots+\lambda_{k}A_{k} pode ser construída por repetidas aplicações de adição e multiplicação por escalar. Na prova você normalmente mostra 0\in W e as duas fechamentos; aí já está feito.

Passo 3

Aplicando o critério à Questão 13 — verificar que 0\in W. \n
Mostro primeiro que a matriz nula 0 (todas as entradas zero) pertence a W. Calculo:
0\cdot T = 0 \qquad\text{e}\qquad T\cdot 0 = 0.
Como 0\cdot T = T\cdot 0, segue que 0\in W. \n
Comentário didático: aqui usei a propriedade básica de matrizes de que multiplicar a matriz nula por qualquer matriz dá a matriz nula.

Passo 4

Aplicando o critério à Questão 13 — fechado sob adição. \n
Tomemos A,B\in W. Isso significa, por definição de W, que
AT=TA \quad\text{e}\quad BT=TB.
Queremos mostrar que A+B também comuta com T, isto é (A+B)T=T(A+B). Compute:
(A+B)T = AT + BT
pela distributividade da multiplicação de matrizes sobre adição. Como AT=TA e BT=TB, substituindo obtemos
AT + BT = TA + TB = T(A+B).
Logo (A+B)T = T(A+B), então A+B\in W. \n
Explicação didática: aqui usei duas propriedades simples de matrizes: distributividade (A+B)T = AT + BT e a hipótese de comutação para cada um.

Passo 5

Aplicando o critério à Questão 13 — fechado sob multiplicação por escalar. \n
Se A\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então AT=TA. Quero ver se (\lambda A)T = T(\lambda A). Calculo:
(\lambda A)T = \lambda(AT)
pelo fato de que escalar sai da multiplicação pela esquerda. Como AT=TA, temos \lambda(AT)=\lambda(TA)=T(\lambda A). Portanto (\lambda A)T = T(\lambda A) e \lambda A\in W. \n
Comentário didático: usei a associatividade e a compatibilidade da multiplicação por escalar com multiplicação de matrizes.

Passo 6

Conclusão da Questão 13. \n
Juntando os passos anteriores: 0\in W, W é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Pelo critério de subespaço, W é subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}). \n
Intuição amigável: W é o conjunto de todas as matrizes que “comutam” com uma matriz fixa T. Fechar por soma e escala é natural porque a propriedade de comutar com T se preserva por soma e por multiplicação por escalar.

Passo 7

Aplicando o critério à Questão 14 — verificar 0\in W. \n
Para W=\{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=A\} verificamos a matriz nula 0:
0^{2}=0,
logo 0\in W. Isso satisfaz a não vacuidade, mas ainda precisamos checar os fechamentos.

Passo 8

Tentativa de fechamento por adição e contraexemplo (fatiando a esperança). \n
Para que W fosse subespaço, precisaria ser fechado por adição: se A,B\in W então A+B\in W, ou seja (A+B)^{2}=A+B. Vou dar um contraexemplo simples que mostra que isso falha. \n
Escolha \;A=I e \;B=I, onde I é a matriz identidade 2\times 2. Observações:
I^{2}=I,
então A\in W e B\in W. Agora calcule a soma:
A+B = I+I = 2I.
Verifiquemos se 2I é idempotente:
(2I)^{2} = 4I \neq 2I.
Como (2I)^{2}\neq 2I, concluímos que A+B\notin W. Portanto W não é fechado por adição e, logo, não é subespaço vetorial. \n
Comentário didático: usar I é um truque simples — I é idempotente, e somar I consigo mesmo dá 2I, que não é idempotente. Isso já basta para derrubar a propriedade de subespaço.

Passo 9

Observação adicional sobre multiplicação por escalar (por reforço). \n
Mostro também por que W não é fechado sob multiplicação por escalar (isso não é necessário depois do contraexemplo, mas é didático). Seja A\in W com A\neq 0 e \lambda\in\mathbb{R}. Temos
(\lambda A)^{2} = \lambda^{2} A^{2} = \lambda^{2} A.
Para que \lambda A seja idempotente precisamos que \lambda^{2}A = \lambda A, ou seja
(\lambda^{2}-\lambda)A = 0.
Se A\neq 0, isso implica \lambda^{2}-\lambda=0, ou \lambda(\lambda-1)=0, logo \lambda=0 ou \lambda=1. Portanto, para um idempotente não-nulo, apenas escalares 0 e 1 preservam a idempotência. Em particular, multiplicar por \lambda=2 falha: 2I não é idempotente. \n
Conclusão: há falha tanto na adição quanto em escala, portanto W não é subespaço.

Resposta

Questão 13: W é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).\n
Questão 14: W não é um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

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