Mostre que o conjunto das soluções da equação não-homogênea A X=B, onde B \neq 0, não forma um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos chamar de S o conjunto de todas as soluções de \,A X = B com B \neq 0. O que precisamos mostrar é que S não satisfaz os axiomas de espaço vetorial, em particular a exigência de conter o vetor zero e de ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Teste do vetor nulo: se 0 fosse solução, teríamos A\cdot 0 = 0 \neq B,
logo 0\notin S. Mas um espaço vetorial sempre deve conter o vetor zero. Portanto S já falha nesse ponto.

Passo 3

Teste da clausura sob adição: tomemos X_1,X_2\in S. Então A X_1 = B e A X_2 = B,
logo A(X_1+X_2)=A X_1 + A X_2 = B + B = 2B \neq B.
Isso mostra que X_1+X_2\notin S, ou seja, S não é fechado sob soma.

Resposta

O conjunto das soluções de A X = B com B\neq0 não contém o vetor zero e não é fechado sob soma, logo não forma um espaço vetorial.

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