Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
\frac{-5 x^{2}+10 x-7}{-x^{2}-7 x-25} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{-5x^{2}+10x-7}{-x^{2}-7x-25}\ge 0.
O conteúdo é inequação de função racional: para resolver, vamos estudar o sinal do numerador e do denominador separadamente e depois combinar.

Passo 2

Analisando o numerador N(x)=-5x^{2}+10x-7:
  1. É uma parábola com coeficiente líder -5<0, volta-se para baixo.
  2. O discriminante é
\Delta = 10^{2}-4\cdot(-5)\cdot(-7)=100-140=-40<0,
logo não há raízes reais.
3. Escolhendo x=0, temos N(0)=-7<0. Como a parábola não cruza o eixo x e está voltada para baixo, \,N(x)<0\ para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Analisando o denominador D(x)=-x^{2}-7x-25=-(x^{2}+7x+25):
  1. A expressão interna x^{2}+7x+25 tem discriminante 49-100=-51<0, logo é sempre positiva.
  2. Multiplicando por -1, conclui-se que D(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}.
  3. Não há pontos em que D(x)=0, então o domínio da expressão é todo \mathbb{R}.

Passo 4

Como N(x)<0 e D(x)<0 para todo real, o quociente
\frac{N(x)}{D(x)}
é sempre positivo (negativo sobre negativo). Portanto
\frac{-5x^{2}+10x-7}{-x^{2}-7x-25}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como queremos \ge0, incluímos todos os x do domínio.

Resposta

(-\infty,\infty)

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