Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
\frac{(3 x-6)(x+1)}{3-3 x}<0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto‐solução da inequação racional
\frac{(3x-6)(x+1)}{3-3x}<0.
O conteúdo aqui é inequação de função racional: precisamos fatorar numerador e denominador, determinar os pontos críticos (zeros e polos) e fazer um estudo de sinais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador separadamente:
3x-6 = 3(x-2), \quad 3-3x = -3(x-1).
Então
\frac{(3x-6)(x+1)}{3-3x} = \frac{3(x-2)(x+1)}{-3(x-1)} = -\,\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}.

Passo 3

A inequação original
\frac{(3x-6)(x+1)}{3-3x}<0
é equivalente a
-\,\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}<0.
Multiplicando ambos os lados por -1 (inverte o sinal da desigualdade), obtemos
\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}>0.

Passo 4

Os pontos que anulam numerador ou tornam o denominador nulo são
x=-1,\quad x=2,\quad x=1.
O ponto x=1 é proibido (denominador zero). Montamos a tabela de sinais de
\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}
nos intervalos definidos por -\infty,-1,1,2,\infty.

Passo 5

Analisando cada intervalo:
- Para x<-1: x-2<0, x+1<0 ⇒ numerador >0; x-1<0 ⇒ denominador <0;
logo quociente <0.
- Para -1<x<1: x-2<0, x+1>0 ⇒ numerador <0; x-1<0 ⇒ denominador <0;
logo quociente >0.
- Para 1<x<2: x-2<0, x+1>0 ⇒ numerador <0; x-1>0 ⇒ denominador >0;
logo quociente <0.
- Para x>2: x-2>0, x+1>0 ⇒ numerador >0; x-1>0 ⇒ denominador >0;
logo quociente >0.
Como queremos \frac{(x-2)(x+1)}{x-1}>0, ficam válidos os intervalos -1<x<1 e x>2, sempre excluindo os pontos singulares onde a expressão vale zero ou é indefinida.

Resposta

(-1,1)\,\cup\,(2,\infty).

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