Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
\frac{x+3}{x+5} \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x+3}{x+5}\ge2
O conteúdo envolvido é estudo de sinais de uma expressão racional. Vamos precisar determinar o domínio, reduzir tudo a um único quociente e, em seguida, fazer o estudo de sinais da fração resultante.

Passo 2

Começamos levando todos os termos para um único quociente. Subtraindo 2 de ambos os lados,
\frac{x+3}{x+5} - 2 \ge 0
e, usando o mesmo denominador,
\frac{x+3 - 2(x+5)}{x+5} \ge 0.

Passo 3

Simplificamos o numerador:
x+3 -2(x+5) = x+3 -2x -10 = -x -7.
Logo a inequação fica
\frac{-x -7}{x+5} \ge 0.

Passo 4

Para facilitar o estudo de sinais, fatoramos um -1 no numerador e invertendo o sentido da inequação (já que multiplicar por -1 troca o sinal):
\frac{-1\,(x+7)}{x+5} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+7}{x+5} \le 0.

Passo 5

Identificamos os pontos críticos da fração \displaystyle \frac{x+7}{x+5}:
  • Zero do numerador em x = -7.
  • Ponto de descontinuidade (denominador nulo) em x = -5, que não pertence ao domínio.

Passo 6

Fazemos o estudo de sinais em cada intervalo determinado pelos pontos -7 e -5:
  • Para x < -7, escolhemos x=-8: \frac{(-8)+7}{(-8)+5} = \frac{-1}{-3}>0.
  • Para -7 < x < -5, escolhemos x=-6: \frac{(-6)+7}{(-6)+5} = \frac{1}{-1}<0.
  • Para x > -5, escolhemos x=0: \frac{0+7}{0+5} = \frac{7}{5}>0.
Queremos \displaystyle\frac{x+7}{x+5}\le0, ou seja, sinal negativo ou zero, o que ocorre somente em [-7,-5).

Resposta

[-7,\,-5)

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