1. Encontre uma constante c tal que nos pontos de intersecção das esferas
(x-c)^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \text { e } x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=1
os planos tangente serão perpendiculares entre si.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de c tal que, em todo ponto de interseção da esfera
(x-c)^{2}+y^{2}+z^{2}=3
com a esfera
x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=1,
os planos tangentes a essas esferas sejam perpendiculares. O conteúdo principal é geometria diferencial de superfícies: o vetor normal ao plano tangente em cada esfera é dado pelo gradiente da função que define a esfera. Para que dois planos sejam perpendiculares, basta que seus vetores normais sejam ortogonais.

Passo 2

Em um ponto P=(x,y,z) na interseção, as normais às esferas são:
– Para a esfera (x-c)^{2}+y^{2}+z^{2}=3 temos
n_{1}=\nabla\bigl((x-c)^{2}+y^{2}+z^{2}-3\bigr)=(2(x-c),2y,2z)\propto(x-c,y,z).
– Para a esfera x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=1 temos
n_{2}=\nabla\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}-1\bigr)=(2x,2(y-1),2z)\propto(x,y-1,z).
A condição de perpendicularidade é
n_{1}\cdot n_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-c)\,x+y\,(y-1)+z\,z=0.

Passo 3

Além dessa condição, P satisfaz simultaneamente as duas equações das esferas. Escrevemos:
(x-c)^{2}+y^{2}+z^{2}=3,
x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=1,
x^{2}-c\,x+y^{2}-y+z^{2}=0 \quad\text{(ortogonalidade).}

Passo 4

Defina S=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Da segunda esfera vem
S-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{S}{2}.
Da condição de ortogonalidade:
x^{2}-c\,x+y^{2}-y+z^{2}=0 \;\Longrightarrow\; S - c\,x - y = 0 \;\Longrightarrow\; S = c\,x + y.
Substituindo y=S/2 obtém-se
S = c\,x + \frac{S}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{S}{2} = c\,x \;\Longrightarrow\; x = \frac{S}{2c}\quad(c\neq0).

Passo 5

Da primeira esfera temos
(x-c)^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \;\Longrightarrow\; S -2c\,x + c^{2} =3 \;\Longrightarrow\; S = 3 +2c\,x - c^{2}.
Usando x=S/(2c) nesta expressão:
S = 3 + 2c\cdot\frac{S}{2c} - c^{2} = 3 + S - c^{2} \;\Longrightarrow\; 0 = 3 - c^{2} \;\Longrightarrow\; c^{2} = 3.
Logo
c = \pm\sqrt{3}.

Resposta

c = \sqrt{3} ou c = -\sqrt{3}.

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