- Encontre uma constante
tal que nos pontos de intersecção das esferas
os planos tangente serão perpendiculares entre si.
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor de
tal que, em todo ponto de interseção da esfera
com a esfera
os planos tangentes a essas esferas sejam perpendiculares. O conteúdo principal é geometria diferencial de superfícies: o vetor normal ao plano tangente em cada esfera é dado pelo gradiente da função que define a esfera. Para que dois planos sejam perpendiculares, basta que seus vetores normais sejam ortogonais.
Passo 2
Em um ponto
na interseção, as normais às esferas são:
– Para a esfera temos
– Para a esfera
– Para a esfera
temos
A condição de perpendicularidade é
Passo 3
Além dessa condição,
satisfaz simultaneamente as duas equações das esferas. Escrevemos:
Passo 4
Defina
. Da segunda esfera vem
Da condição de ortogonalidade:
Substituindo
obtém-se
Passo 5
Da primeira esfera temos
Usando
nesta expressão:
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