Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
f(x, y)=e^{x} \sin y+e^{y} \cos x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=e^{x}\sin y \;+\; e^{y}\cos x
satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.
Ou seja, vamos calcular \partial f/\partial x, \partial^2 f/\partial x^2, \partial f/\partial y e \partial^2 f/\partial y^2, e verificar que a soma dessas segundas derivadas é zero.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
Derivando termo a termo:
  • \partial_x\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\sin y, pois \sin y é constante em x.
  • \partial_x\bigl(e^{y}\cos x\bigr)=-e^{y}\sin x, pois derivada de \cos x é -\sin x.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x}\sin y \;-\; e^{y}\sin x.

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x.
Derivando \partial f/\partial x em x:
  • \partial_x\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\sin y.
  • \partial_x\bigl(-e^{y}\sin x\bigr)=-e^{y}\cos x.
    Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = e^{x}\sin y \;-\; e^{y}\cos x.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
Derivando termo a termo:
  • \partial_y\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\cos y.
  • \partial_y\bigl(e^{y}\cos x\bigr)=e^{y}\cos x.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x}\cos y \;+\; e^{y}\cos x.

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial de f em relação a y.
Derivando \partial f/\partial y em y:
  • \partial_y\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=-e^{x}\sin y.
  • \partial_y\bigl(e^{y}\cos x\bigr)=e^{y}\cos x.
    Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = -\,e^{x}\sin y \;+\; e^{y}\cos x.

Passo 6

Somar as duas segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\bigl(e^{x}\sin y - e^{y}\cos x\bigr) +\bigl(-e^{x}\sin y + e^{y}\cos x\bigr) =0.

Passo 7

Como o somatório das segundas derivadas é zero, concluímos que f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.

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