Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
Ou seja, vamos calcular
,
,
e
, e verificar que a soma dessas segundas derivadas é zero.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
-
, pois é constante em . -
, pois derivada de é .
Logo
Passo 3
Calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivando em
:
Derivando
-
. -
.
Portanto
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
-
. -
.
Logo
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivando em
:
Derivando
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Somar as duas segundas derivadas:
Passo 7
Como o somatório das segundas derivadas é zero, concluímos que
satisfaz a equação de Laplace.