(a) Encontre constantes
de modo que o campo vetorial
seja irrotacional.
(b) Se
é irrotacional, encontre um campo escalar
tal que
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- escolher
de modo que (irrotacional), - então encontrar um potencial escalar
tal que .
Para (a) vamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas; para (b) vamos integrar componentes derespeitando consistência entre derivadas parciais.
Passo 2
Calculamos
.
Ramo a ramo:
Ramo a ramo:
Para anular o rotacional impomos
Logo
Passo 3
Com
, a primeira componente é
. Um candidato a potencial
satisfaz
Passo 4
Derivando em
e igualando a
:
Integrando em
:
onde
é função só de
.
Passo 5
Agora
vale
Derivando em
e igualando a
:
Podemos tomar a constante zero.
Resposta
(a)
(b) Um potencial é
(b) Um potencial é