(a) Encontre constantes a, b, c de modo que o campo vetorial \vec{F}=\left(x^{2}+2 y+a z\right) \vec{i}+(b x-3 y- z) \vec{j}+(4 x+c y+2 z) \vec{k} seja irrotacional.
(b) Se \vec{F} é irrotacional, encontre um campo escalar \varphi(x, y, z) tal que \nabla \varphi=\vec{F}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}=(P,Q,R)=(x^{2}+2y+a z,\;b x-3y-z,\;4x+c y+2z)
e pede duas coisas:
  1. escolher a,b,c de modo que \nabla\times\vec{F}=\vec{0} (irrotacional),
  2. então encontrar um potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
    Para (a) vamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas; para (b) vamos integrar componentes de \vec{F} respeitando consistência entre derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos \nabla\times\vec{F}=(R_{y}-Q_{z},\,P_{z}-R_{x},\,Q_{x}-P_{y}).
Ramo a ramo:
R_{y}=c,\quad Q_{z}=-1\quad\Longrightarrow\quad R_{y}-Q_{z}=c-(-1)=c+1
P_{z}=a,\quad R_{x}=4\quad\Longrightarrow\quad P_{z}-R_{x}=a-4
Q_{x}=b,\quad P_{y}=2\quad\Longrightarrow\quad Q_{x}-P_{y}=b-2
Para anular o rotacional impomos
c+1=0,\quad a-4=0,\quad b-2=0
Logo
a=4,\quad b=2,\quad c=-1.

Passo 3

Com a=4, a primeira componente é P=x^2+2y+4z. Um candidato a potencial \varphi satisfaz
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P\quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=\int(x^2+2y+4z)\,dx=\frac{x^3}{3}+2xy+4xz+h(y,z).

Passo 4

Derivando em y e igualando a Q=2x-3y-z:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2x+\frac{\partial h}{\partial y} \;\overset!=\;2x-3y-z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=-3y-z.
Integrando em y:
h(y,z)=-\frac{3y^2}{2}-yz+g(z),
onde g é função só de z.

Passo 5

Agora \varphi vale
\varphi(x,y,z)=\frac{x^3}{3}+2xy+4xz-\frac{3y^2}{2}-yz+g(z).
Derivando em z e igualando a R=4x-\,y+2z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=4x-y+g'(z) \;\overset!=\;4x-y+2z \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=2z \;\Longrightarrow\; g(z)=z^2+{\rm constante}.
Podemos tomar a constante zero.

Resposta

(a) \;a=4,\;b=2,\;c=-1.
(b) Um potencial é
\varphi(x,y,z) =\frac{x^3}{3}+2xy+4xz-\frac{3y^2}{2}-yz+z^2.

Exercícios relacionados