Sejam f(x, y, z) e g(x, y, z) funções com derivadas parciais de segunda ordem contínua. Mostre que \nabla f \times \nabla g é solenoidal.
11. Seja \vec{F}(x, y, z)=F_{1}(y, z) \vec{i}+F_{2}(x, z) \vec{j}+ +F_{3}(x, y) \vec{k}. Mostre que \vec{F} é solenoidal.

Passo 1

O primeiro exercício pede para mostrar que o campo
\mathbf{C}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\times\nabla g(x,y,z)
é solenoidal, ou seja, que
\nabla\cdot\mathbf{C}=0.
A teoria que vamos usar é que, para qualquer campo vetorial \mathbf{A} com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto para o rotacional de f\,\nabla g:
\nabla\times\bigl(f\,\nabla g\bigr) =\nabla f\times\nabla g \;+\;f\,\bigl(\nabla\times\nabla g\bigr).
Mas \nabla\times\nabla g=0 sempre que g tem derivadas de segunda ordem contínuas. Logo
\nabla f\times\nabla g =\nabla\times\bigl(f\,\nabla g\bigr).
Tomando a divergência de ambos os lados e usando \nabla\cdot(\nabla\times(\cdot))=0, obtemos
\nabla\cdot\bigl(\nabla f\times\nabla g\bigr) =\nabla\cdot\bigl(\nabla\times(f\,\nabla g)\bigr)=0.
Portanto \nabla f\times\nabla g é solenoidal.

Passo 3

O segundo exercício define
\mathbf{F}(x,y,z) =F_{1}(y,z)\,\mathbf{i} +F_{2}(x,z)\,\mathbf{j} +F_{3}(x,y)\,\mathbf{k}
e também pede para mostrar que \mathbf{F} é solenoidal, ou seja
\nabla\cdot\mathbf{F}=0.

Passo 4

Calculamos diretamente
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_{1}}{\partial x} +\frac{\partial F_{2}}{\partial y} +\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
Como F_{1} depende apenas de y,z, tem \partial F_{1}/\partial x=0.
Como F_{2} depende apenas de x,z, tem \partial F_{2}/\partial y=0.
Como F_{3} depende apenas de x,y, tem \partial F_{3}/\partial z=0.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=0,
e \mathbf{F} é solenoidal.

Resposta

Em ambos os casos a divergência do campo em questão é nula, logo os dois campos são solenoidais.

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