Sejam
e
funções com derivadas parciais de segunda ordem contínua. Mostre que
é solenoidal.
11. Seja
. Mostre que
é solenoidal.
11. Seja
Passo 1
O primeiro exercício pede para mostrar que o campo
é solenoidal, ou seja, que
A teoria que vamos usar é que, para qualquer campo vetorial
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale
Passo 2
Aplicamos a regra do produto para o rotacional de
:
Mas
sempre que
tem derivadas de segunda ordem contínuas. Logo
Tomando a divergência de ambos os lados e usando
, obtemos
Portanto
é solenoidal.
Passo 3
O segundo exercício define
e também pede para mostrar que
é solenoidal, ou seja
Passo 4
Calculamos diretamente
Como
depende apenas de
, tem
.
Como depende apenas de
, tem
.
Como depende apenas de
, tem
.
Logo
Como
Como
Logo
e
é solenoidal.
Resposta
Em ambos os casos a divergência do campo em questão é nula, logo os dois campos são solenoidais.