Como f é C^2, podemos trocar a ordem das derivadas mistas (teorema de Clairaut), logo essa diferença é zero. O mesmo vale para as outras componentes, daí
\nabla\times\nabla f=\mathbf{0},
ou seja, \nabla f é irrotacional.
Passo 3
Para mostrar que \nabla f é solenoidal, basta calcular sua divergência: