Mostre que se a função f(x, y, z) satisfaz a equação de Laplace
\nabla^{2} f \equiv \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0
então \nabla f é campo irrotacional e solenoidal.

Passo 1

O enunciado diz que f(x,y,z) é uma função de classe C^2 (ou seja, tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas) que satisfaz a equação de Laplace
\nabla^{2}f \;=\;\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\;=\;0.
Queremos mostrar que o campo vetorial \nabla f é ao mesmo tempo irrotacional ( \nabla\times\nabla f=0) e solenoidal ( \nabla\cdot\nabla f=0).

Passo 2

Para ver que \nabla f é irrotacional, lembramos a identidade de cálculo vetorial de que o rotacional de um gradiente vale zero:
\nabla \times \bigl(\nabla f\bigr) =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ \partial_x f&\partial_y f&\partial_z f \end{vmatrix}.
Cada componente desse determinante é a diferença de derivadas mistas, por exemplo,
(\nabla\times\nabla f)_x =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}.
Como f é C^2, podemos trocar a ordem das derivadas mistas (teorema de Clairaut), logo essa diferença é zero. O mesmo vale para as outras componentes, daí
\nabla\times\nabla f=\mathbf{0},
ou seja, \nabla f é irrotacional.

Passo 3

Para mostrar que \nabla f é solenoidal, basta calcular sua divergência:
\nabla\cdot\bigl(\nabla f\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
Mas pela hipótese f satisfaz \nabla^2 f=0, logo
\nabla\cdot\nabla f=0.

Passo 4

Portanto mostramos que
\nabla\times\nabla f=\mathbf{0} \quad\text{e}\quad \nabla\cdot\nabla f=0,
ou seja, \nabla f é simultaneamente irrotacional e solenoidal.

Resposta

\nabla f é irrotacional: \nabla\times\nabla f=\mathbf{0},
e solenoidal: \nabla\cdot\nabla f=0.

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