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Encontre constantes a, b e c tais que a função f(x)=lla x^2+b x+c & , se x<1 x^2-5 x+6 & , se x >= 1 seja derivável em R e f^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar constantes a, b e c de modo que a função definida por partes seja derivável em todo o ℝ e satisfaça f′(0)=0. O tema aqui é continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes, e vamos usar as condições de continuidade e de igualdade de derivadas no ponto de quebra (x=1), além de forçar f′(0)=0.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=1, igualamos os dois ramos em x=1. No ramo x<1 temos f(1^-) = a·1^2 + b·1 + c = a + b + c. No ramo x≥1, f(1^+) = 1^2 − 5·1 + 6 = 2. Logo
a + b + c = 2

Passo 3

Para garantir derivabilidade em x=1, igualamos as derivadas laterais em x=1. No ramo x<1,
f'(x)=2a x + b
portanto f’(1^-) = 2a + b. No ramo x≥1,
f'(x)=2x - 5
logo f’(1^+) = 2·1 - 5 = -3. Igualando:
2a + b = -3

Passo 4

Para impor f′(0)=0, avaliamos a derivada do ramo x<1 em x=0. Como f’(x)=2a x + b, temos f’(0)=b. Então
b = 0

Passo 5

Agora resolvemos o sistema de três equações: b=0; de 2a + b = -3 vem 2a = -3 ⇒ a = -3/2; e de a + b + c = 2 vem -3/2 + 0 + c = 2 ⇒ c = 7/2.

Resposta

a = -\tfrac{3}{2},\ b = 0,\ c = \tfrac{7}{2}

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