(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de integração por partes.
integral x^2 cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 cos (2 x) ,dx usando o método de integração por partes. A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral serão u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao derivar, e dv como a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos deixar:
u = x^2
dv = cos(2x) ,dx

Passo 3

Agora, vamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v:
du = 2x ,dx
v = integral cos(2x) ,dx = 12 sin(2x)
A integração de cos(2x) resulta em 12 sin(2x) porque a derivada de sin(2x) é 2cos(2x), então precisamos dividir por 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u ,dv = u v - integral v ,du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 cos(2x) ,dx = x^2 cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 2x ,dx
Simplificando:
= x^22 sin(2x) - integral x sin(2x) ,dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral x sin(2x) ,dx. Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
u = x
dv = sin(2x) ,dx

Passo 6

Diferenciando e integrando:
du = dx
v = integral sin(2x) ,dx = -12 cos(2x)
A integral de sin(2x) é -12 cos(2x) porque a derivada de -cos(2x) é 2sin(2x), e dividimos por 2 para ajustar.

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x sin(2x) ,dx = u v - integral v ,du
Substituindo os valores:
= x cdot (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) ,dx
Simplificando:
= -x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) ,dx
= -x2 cos(2x) + 12 cdot 12 sin(2x)
= -x2 cos(2x) + 14 sin(2x)

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
integral x^2 cos(2x) ,dx = x^22 sin(2x) - ( -x2 cos(2x) + 14 sin(2x) )
Distribuindo o sinal negativo:
= x^22 sin(2x) + x2 cos(2x) - 14 sin(2x)

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x^2 cos(2x) ,dx = x^22 sin(2x) + x2 cos(2x) - 14 sin(2x) + C
onde C é a constante de integração.

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