(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de substituição.
integral x raiz[3]5+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x raiz[3]5+x^2 , dx usando o método de substituição. Esse tipo de integral pertence ao cálculo integral, especificamente na técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para a expressão dentro da raiz cúbica, 5 + x^2, faz sentido escolher u = 5 + x^2. Isso porque a derivada de u em relação a x nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u em relação a x:
du = ddx(5 + x^2) , dx = 2x , dx
Isso significa que 2x , dx = du. Podemos rearranjar para encontrar x , dx:
x , dx = du2

Passo 4

Agora, substituímos u e x , dx na integral original:
integral x raiz[3]5+x^2 , dx = integral raiz[3]u cdot du2 = 12 integral u^1/3 , du
Aqui, reescrevemos a raiz cúbica como uma potência: raiz[3]u = u^1/3.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^1/3 em relação a u:
12 integral u^1/3 , du = 12 cdot u^4/34/3 + C = 38 u^4/3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
38 u^4/3 + C = 38 (5 + x^2)^4/3 + C

Resposta

A integral integral x raiz[3]5+x^2 , dx é igual a 38 (5 + x^2)^4/3 + C, onde C é a constante de integração.

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