Encontre a convolução f(t) \star g(t) em cada um dos itens.
f(t)=\cos (t) e g(t)=\sin (t);

Passo 1

O enunciado pede a convolução de duas funções de tempo contínuo f(t)=\cos(t) e g(t)=\sin(t), assumindo-as como sinais causais (isto é, f(t)=g(t)=0 para t<0).
O conteúdo envolvido é a definição de convolução no domínio do tempo
(f\star g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau
e o uso de identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Aplicando diretamente a definição de convolução para t\ge0, temos
(f\star g)(t) =\int_{0}^{t}\cos(\tau)\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,\mathrm{d}\tau.

Passo 3

Usamos a identidade
\sin\bigl(t-\tau\bigr)=\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau
para escrever o integrando como
\cos\tau\,\sin\bigl(t-\tau\bigr) =\sin t\cos^2\tau-\cos t\,\cos\tau\sin\tau.
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(f\star g)(t) =\underbrace{\sin t\int_{0}^{t}\cos^2\tau\,\mathrm{d}\tau}_{I_1} -\underbrace{\cos t\int_{0}^{t}\cos\tau\sin\tau\,\mathrm{d}\tau}_{I_2}.

Passo 4

Calculamos as integrais separadamente:
1. \displaystyle\int_{0}^{t}\cos^2\tau\,\mathrm{d}\tau =\int_{0}^{t}\frac{1+\cos2\tau}{2}\,\mathrm{d}\tau =\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}. 2. \displaystyle\int_{0}^{t}\cos\tau\sin\tau\,\mathrm{d}\tau =\frac12\int_{0}^{t}\sin2\tau\,\mathrm{d}\tau =\frac{\sin^2t}{2}.
Substituindo em (f\star g)(t):
(f\star g)(t) =\sin t\Bigl(\tfrac{t}{2}+\tfrac{\sin2t}{4}\Bigr) -\cos t\Bigl(\tfrac{\sin^2t}{2}\Bigr).
Usando \sin2t=2\sin t\cos t, nota-se que os termos não-lineares se cancelam, sobrando
(f\star g)(t)=\frac{t}{2}\,\sin t,\quad t\ge0.

Resposta

(f\star g)(t)= \begin{cases} \dfrac{t}{2}\,\sin t,&t\ge0,\\\\ 0,&t<0. \end{cases}

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