Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=t^{2}, \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0,\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = t^2,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
2. Obter uma particular para o termo t^2.
3. Combinar as duas e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y' + 4y = 0.
Sua equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+2)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; r=-2\text{ (dupla)}.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2\,t\,e^{-2t}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p do tipo polinomial, como o termo forçante é t^2, fazemos o palpite
y_p(t) = At^2 + Bt + C.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 2At + B,\quad y_p'' = 2A.
Substituindo em y''+4y'+4y=t^2
2A + 4(2At+B) + 4(At^2 + Bt + C) = t^2.
Expandindo,
4A\,t^2 + (8A+4B)\,t + (2A + 4B + 4C) = t^2.

Passo 4

Comparando coeficientes de t^2, t e termo constante:
\begin{cases} 4A = 1,\\\\ 8A + 4B = 0,\\\\ 2A + 4B + 4C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
A = \tfrac14,\quad B = -\tfrac12,\quad C = \tfrac38.
Logo
y_p(t) = \tfrac14\,t^2 - \tfrac12\,t + \tfrac38.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-2t} + C_2\,t\,e^{-2t} + \tfrac14\,t^2 - \tfrac12\,t + \tfrac38.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0:
y(0)=C_1 + 0 + 0 - 0 + \tfrac38 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\tfrac38.
Em seguida calculamos y'(t):
y'(t) = -2C_1e^{-2t} + C_2\bigl(e^{-2t}-2t\,e^{-2t}\bigr) + \tfrac12\,t - \tfrac12.
Então y'(0)=0
y'(0) = -2C_1 + C_2 - \tfrac12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2\bigl(-\tfrac38\bigr) + C_2 - \tfrac12 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\tfrac14.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(t) = -\tfrac38\,e^{-2t} \;-\;\tfrac14\,t\,e^{-2t} \;+\;\tfrac14\,t^2 \;-\;\tfrac12\,t \;+\;\tfrac38.

Resposta

\boxed{y(t) = -\tfrac38\,e^{-2t} - \tfrac14\,t\,e^{-2t} + \tfrac14\,t^2 - \tfrac12\,t + \tfrac38.}

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