Encontre a convolução f(t) \star g(t) em cada um dos itens.
f(t)=e^{a t} e g(t)=e^{b t}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução de duas funções exponenciais causais \displaystyle f(t)=e^{a t}u(t) e \displaystyle g(t)=e^{b t}u(t),
onde u(t) é o degrau de Heaviside. O conteúdo aqui é a definição de convolução de sinais em tempo contínuo:
(f * g)(t) \;=\;\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau
Como são causais, o integral reduz-se a \int_{0}^{t}.

Passo 2

Aplicando a definição ao nosso caso, para t\ge0:
(f * g)(t) =\int_{0}^{t}e^{a\tau}\,e^{b\,(t-\tau)}\,d\tau =\;e^{b t}\int_{0}^{t}e^{(a-b)\tau}\,d\tau.

Passo 3

Se a\neq b, a integral fica
\int_{0}^{t}e^{(a-b)\tau}\,d\tau =\frac{e^{(a-b)t}-1}{a-b},
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(f * g)(t) =e^{b t}\,\frac{e^{(a-b)t}-1}{a-b} =\frac{e^{a t}-e^{b t}}{a-b}.

Passo 4

No caso especial a=b, usamos limite ou reconhecemos que \displaystyle\frac{e^{a t}-e^{b t}}{a-b} tende a t\,e^{a t}. Assim
(f * g)(t)=t\,e^{a t}.

Resposta

Para t\ge0:
(f * g)(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{a t}-e^{b t}}{a-b},&a\neq b,\\[1em] \displaystyle t\,e^{a t},&a=b. \end{cases}]

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