Usando convolução, encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{1}{s(s-3)};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s(s-3)}
usando o Teorema da Convolução. O conteúdo envolve reconhecer F(s) como produto de duas funções cujas inversas conhecemos e depois usar a integral de convolução para obter f(t).

Passo 2

Separamos
F(s)=\frac{1}{s}\;\cdot\;\frac{1}{s-3}
e definimos
G(s)=\frac{1}{s},\quad H(s)=\frac{1}{s-3}.
Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t)=g(t)=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}(t)=h(t)=e^{3t}.

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) =\int_{0}^{t}g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}1\cdot e^{3(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{t}e^{3(t-\tau)}\,d\tau =e^{3t}\int_{0}^{t}e^{-3\tau}\,d\tau =e^{3t}\biggl[-\tfrac{1}{3}e^{-3\tau}\biggr]_{0}^{t} =e^{3t}\bigl(-\tfrac{1}{3}(e^{-3t}-1)\bigr) =\tfrac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).

Resposta

f(t)=\frac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).

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