Usando convolução, encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{1}{\left(s^{2}+9\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{(s^2+9)^2}.
O conteúdo é o uso do teorema da convolução, que diz que se
F(s)=G(s)\,H(s),
então
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=(g*h)(t)
onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.

Passo 2

Observe que
F(s)=\frac{1}{(s^2+9)^2}=\frac{1}{s^2+3^2}\;\cdot\;\frac{1}{s^2+3^2}.
Logo podemos tomar
G(s)=H(s)=\frac{1}{s^2+9}.
Precisamos então de
g(t)=h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+9}\Bigr\}
que é a função seno escalada.

Passo 3

Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+9}\Bigr\}=\frac{1}{3}\sin(3t).
Pela convolução,
f(t)=(g*h)(t) =\int_{0}^{t}g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\frac{1}{9}\int_{0}^{t}\sin(3\tau)\,\sin\bigl(3(t-\tau)\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Use a identidade trigonométrica
\sin A\,\sin B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Aqui A=3\tau e B=3(t-\tau), então
\sin(3\tau)\sin\bigl(3(t-\tau)\bigr) =\tfrac12\bigl[\cos(6\tau-3t)-\cos(3t)\bigr].
Assim
f(t)=\frac{1}{18}\int_{0}^{t}\bigl[\cos(6\tau-3t)-\cos(3t)\bigr]d\tau.

Passo 5

Calcule as duas integrais separadamente:
1. \displaystyle I_1=\int_{0}^{t}\cos(6\tau-3t)\,d\tau.
Com u=6\tau-3t, du=6\,d\tau, limites de -3t a 3t:
I_1 =\frac{1}{6}\int_{-3t}^{3t}\cos u\,du =\frac{1}{6}\bigl[\sin u\bigr]_{-3t}^{3t} =\frac{1}{6}\bigl(\sin3t-(-\sin3t)\bigr) =\frac{1}{3}\sin3t.
2. \displaystyle I_2=\int_{0}^{t}\cos(3t)\,d\tau =t\cos(3t). Portanto
f(t) =\frac{1}{18}\Bigl(I_1 - I_2\Bigr) =\frac{1}{18}\Bigl(\tfrac{1}{3}\sin3t - t\cos3t\Bigr) =\frac{1}{54}\sin3t - \frac{t}{18}\cos3t.
Reescrevendo em forma única:
f(t)=\frac{1}{54}\bigl(\sin3t - 3t\cos3t\bigr).

Resposta

\boxed{f(t)=\frac{1}{54}\,\bigl(\sin(3t)-3t\cos(3t)\bigr).}

Exercícios relacionados