Encontre as coordenadas polares dos pontos:
\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as coordenadas polares do ponto dado em coordenadas cartesianas \left(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right).
Informações fornecidas:
  • Coordenadas cartesianas: x=\dfrac{1}{4} e y=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
    Pergunta: determinar (r,\theta) tais que x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.

Passo 2

Conceito e fórmulas básicas (mini-aula): polar x cartesiano.
  • Nas coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta) onde:
    • r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 para a forma usual);
    • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário.
  • As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Para obter r a partir de x e y usa-se a distância euclidiana:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Para obter \theta pode-se usar \tan\theta=\dfrac{y}{x} junto com a informação do quadrante, ou usar diretamente \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r}. É importante checar em qual quadrante o ponto está para escolher o ângulo correto dentre as possíveis soluções.

Passo 3

Calcular r com os valores dados:
r=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}} =\sqrt{\dfrac{4}{16}} =\sqrt{\dfrac{1}{4}} =\dfrac{1}{2}.
Logo r=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular \cos\theta e \sin\theta usando r:
\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}, \qquad \sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Procuramos um ângulo cujo cosseno seja \dfrac{1}{2} e seno \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Esses valores correspondem ao ângulo \theta=\dfrac{\pi}{3} (ou 60^\circ).

Passo 5

Verificação do quadrante: temos x>0 e y>0, portanto o ponto está no primeiro quadrante; isso confirma que o ângulo principal é \theta=\dfrac{\pi}{3} (não é necessário adicionar \pi nem escolher outro quadrante).

Passo 6

Conclusão sobre múltiplas representações: coordenadas polares não são únicas. A representação padrão com r\ge 0 e ângulo principal é
(r,\theta)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\pi}{3}\right).
As representações equivalentes geral são
\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\right) com k\in\mathbb{Z}.
Também é possível usar r<0 (forma alternativa) escrevendo, por exemplo, \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi\right), pois ( -r,\theta+\pi) corresponde ao mesmo ponto.

Resposta

\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\pi}{3}\right)
\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\right),\\ k\in\mathbb{Z}

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