Desenhe as curvas polares:
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva polar
Informações que temos (apenas o que o enunciado dá):
- A equação polar é
. - O objetivo é esboçar (desenhar) essa curva no plano polar: determinar forma, pontos importantes, simetrias e como traçar à mão.
Passo 2
Simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida (meia-ângulo).
A identidade de meia-ângulo diz que
A identidade de meia-ângulo diz que
Portanto a curva pode ser escrita de forma mais familiar como
Explicação da identidade: a fórmula vem de
. Isolando
obtém-se
. Aqui
é o ângulo polar e
a distância ao polo (origem).
Passo 3
Verificar simetrias e período (isso ajuda muito ao desenhar).
- Simetria em relação ao eixo polar (
-axis): como é função par, tem-se . Logo a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo horizontal). - Período:
tem período , logo tem período . Basta esboçar para . - Não há
porque sempre. Aqui é não-negativo.
Passo 4
Encontrar pontos e valores extremos fáceis (tabela de valores simples).
Calcule para ângulos comuns:
Calcule
-
: Ponto no plano cartesiano: . -
: Ponto polar: em → cartesiano . -
: Isso dá o polo (origem). -
: Ponto . -
: (repete ).
Também, por exemplo: -
(120°): então — mostra que a curva se aproxima do polo entre e .
Esses pontos já dão uma “estrutura” da curva: máximo em
com
, cuspide (r=0) em
.
Passo 5
Determinar monotonicidade em intervalos para saber como ligar os pontos (usar derivada).
Derive :
Derive
- Em
temos então : decresce de (em ) até (em ). - Em
temos então : cresce do (em ) de volta para (em ).
Isso diz que, à medida quevai de para , o raio encolhe suavemente até o polo; depois cresce novamente para completar a curva. Não há auto-intersecções além do encontro na origem (cuspide).
Passo 6
Identificar a classe da curva (intuição geométrica).
A forma com
é a equação polar de uma cardioide deslocada/introduzida no polo quando
é fator de escala. Aqui
é exatamente um caso com
. Portanto a curva é um cardioide (forma de coração/maçã) voltada para a direita, com:
A forma
- cuspide no polo em
, - vértice mais afastado em
, - simetria em torno do eixo polar.
Breve explicação do que é um cardioide: é uma curva com uma cuspide (ponta) no polo e um lobo arredondado apontando para
. Ela é suave exceto no ponto cuspídeo (origem aqui).
Passo 7
Como desenhar passo a passo à mão (procedimento prático para a prova)
- Desenhe os eixos polares: raio
apontando para a direita. - Marque os pontos calculados:
- em
coloque o ponto , - em
marque o ponto a acima do polo, - em
coloque o polo ( ), - em
marque abaixo, - marque também pontos intermédios como
se quiser mais precisão (por exemplo dá ).
- em
- Usando a informação de que
decresce continuamente de até em e cresce em , ligue suavemente os pontos formando a típica “barriga” da cardioide à direita e a cuspide no polo à esquerda. - Aproveite a simetria par para desenhar a metade superior e refletir na inferior — assim fica bem simétrico.
- Resultado: um cardioide com comprimento máximo para a direita em
e cuspide na origem.
Passo 8
Representação paramétrica (opcional, para ver que dá a mesma coisa)
As coordenadas cartesianas paramétricas são
As coordenadas cartesianas paramétricas são
com
. Essas fórmulas mostram a mesma geometria: origem quando
(ou seja
), e ponto mais distante quando
.
Resposta
A curva é um cardioide dada por
. Tem máximo
em
, cuspide (origem,
) em
, é simétrica em relação ao eixo polar e seus pontos notáveis incluem
.