Desenhe as curvas polares:
r=\cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva polar
r=\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Informações que temos (apenas o que o enunciado dá):
  • A equação polar é r=\cos^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • O objetivo é esboçar (desenhar) essa curva no plano polar: determinar forma, pontos importantes, simetrias e como traçar à mão.

Passo 2

Simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida (meia-ângulo).
A identidade de meia-ângulo diz que
\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1+\cos\theta}{2}.
Portanto a curva pode ser escrita de forma mais familiar como
r=\frac{1+\cos\theta}{2}.
Explicação da identidade: a fórmula vem de \cos\theta=2\cos^{2}(\theta/2)-1. Isolando \cos^{2}(\theta/2) obtém-se \cos^{2}(\theta/2)=(1+\cos\theta)/2. Aqui \theta é o ângulo polar e r a distância ao polo (origem).

Passo 3

Verificar simetrias e período (isso ajuda muito ao desenhar).
  • Simetria em relação ao eixo polar ( x-axis): como \cos\theta é função par, tem-se r(\!-\theta)=r(\theta). Logo a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo horizontal).
  • Período: \cos\theta tem período 2\pi, logo r(\theta) tem período 2\pi. Basta esboçar para \theta\in[0,2\pi].
  • Não há r<0 porque \cos^{2}(\theta/2)\ge0 sempre. Aqui r é não-negativo.

Passo 4

Encontrar pontos e valores extremos fáceis (tabela de valores simples).
Calcule r para ângulos comuns:
  • \theta=0: \;r=\dfrac{1+\cos0}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1. Ponto no plano cartesiano: (x,y)=(1,0).
  • \theta=\dfrac{\pi}{2}: \;r=\dfrac{1+\cos(\pi/2)}{2}=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}. Ponto polar: r=\tfrac{1}{2} em \theta=\tfrac{\pi}{2} → cartesiano (0,\tfrac{1}{2}).
  • \theta=\pi: \;r=\dfrac{1+\cos\pi}{2}=\dfrac{1-1}{2}=0. Isso dá o polo (origem).
  • \theta=\tfrac{3\pi}{2}: \;r=\dfrac{1+\cos(3\pi/2)}{2}=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}. Ponto (0,-\tfrac{1}{2}).
  • \theta=2\pi: \;r=1 (repete \theta=0).
    Também, por exemplo:
  • \theta=\pm \tfrac{2\pi}{3} (120°): \cos\theta=-\tfrac{1}{2} então r=\dfrac{1-1/2}{2}=\dfrac{1}{4} — mostra que a curva se aproxima do polo entre \pi/2 e \pi.
Esses pontos já dão uma “estrutura” da curva: máximo em \theta=0 com r=1, cuspide (r=0) em \theta=\pi.

Passo 5

Determinar monotonicidade em intervalos para saber como ligar os pontos (usar derivada).
Derive r(\theta)=\dfrac{1+\cos\theta}{2}:
\frac{dr}{d\theta}=-\frac{1}{2}\sin\theta.
  • Em \theta\in(0,\pi) temos \sin\theta>0 então \dfrac{dr}{d\theta}<0: r decresce de 1 (em 0) até 0 (em \pi).
  • Em \theta\in(\pi,2\pi) temos \sin\theta<0 então \dfrac{dr}{d\theta}>0: r cresce do 0 (em \pi) de volta para 1 (em 2\pi).
    Isso diz que, à medida que \theta vai de 0 para \pi, o raio encolhe suavemente até o polo; depois cresce novamente para completar a curva. Não há auto-intersecções além do encontro na origem (cuspide).

Passo 6

Identificar a classe da curva (intuição geométrica).
A forma r=a(1+\cos\theta) com a>0 é a equação polar de uma cardioide deslocada/introduzida no polo quando a é fator de escala. Aqui r=\dfrac{1+\cos\theta}{2} é exatamente um caso com a=\tfrac{1}{2}. Portanto a curva é um cardioide (forma de coração/maçã) voltada para a direita, com:
  • cuspide no polo em \theta=\pi,
  • vértice mais afastado em (r,\theta)=(1,0),
  • simetria em torno do eixo polar.
Breve explicação do que é um cardioide: é uma curva com uma cuspide (ponta) no polo e um lobo arredondado apontando para \theta=0. Ela é suave exceto no ponto cuspídeo (origem aqui).

Passo 7

Como desenhar passo a passo à mão (procedimento prático para a prova)
  1. Desenhe os eixos polares: raio \theta=0 apontando para a direita.
  2. Marque os pontos calculados:
    • em \theta=0 coloque o ponto (1,0),
    • em \theta=\tfrac{\pi}{2} marque o ponto a r=\tfrac{1}{2} acima do polo,
    • em \theta=\pi coloque o polo ( r=0),
    • em \theta=\tfrac{3\pi}{2} marque r=\tfrac{1}{2} abaixo,
    • marque também pontos intermédios como \theta=\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3} se quiser mais precisão (por exemplo \theta=\tfrac{2\pi}{3} r=\tfrac{1}{4}).
  3. Usando a informação de que r decresce continuamente de 1 até 0 em [0,\pi] e cresce em [\pi,2\pi], ligue suavemente os pontos formando a típica “barriga” da cardioide à direita e a cuspide no polo à esquerda.
  4. Aproveite a simetria par para desenhar a metade superior e refletir na inferior — assim fica bem simétrico.
  5. Resultado: um cardioide com comprimento máximo para a direita em x=1 e cuspide na origem.

Passo 8

Representação paramétrica (opcional, para ver que dá a mesma coisa)
As coordenadas cartesianas paramétricas são
x(\theta)=r\cos\theta=\frac{1+\cos\theta}{2}\cos\theta, \qquad y(\theta)=r\sin\theta=\frac{1+\cos\theta}{2}\sin\theta,
com \theta\in[0,2\pi]. Essas fórmulas mostram a mesma geometria: origem quando \cos\theta=-1 (ou seja \theta=\pi), e ponto mais distante quando \theta=0.

Resposta

A curva é um cardioide dada por r=\cos^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{1+\cos\theta}{2}. Tem máximo r=1 em \theta=0, cuspide (origem, r=0) em \theta=\pi, é simétrica em relação ao eixo polar e seus pontos notáveis incluem (r,\theta)=(1,0),\;(\tfrac{1}{2},\tfrac{\pi}{2}),\;(\tfrac{1}{2},\tfrac{3\pi}{2}).

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