Nos exercícios a seguir, encontre, para a curva dada, T(t) e N(t) e, em t = t1 faça um esboço de uma parte da curva e trace as representações de T(t1) e N(t1) com ponto inicial em t = t1
(a) x = t^3/3, y = t^2 ; t1 = 2
(b) x = t^2 / 2, y = t^3 / 3 ; t1 = 1
© x = e^t sen(t), y = e^t cos(t); t1 = 0
(d) x = cos(k t), y = sen(k t); k > 0, t1 = pi / k
(e) sigma(t) = e^t i + e^(-t) j ; t1 = 0
(f) sigma(t) = e^(-2 t) i + e^(2 t) j ; t1 = 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os vetores tangente e normal para a curva dada pelas funções paramétricas e no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas das funções para obter as direções dos vetores tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções e em relação a . Essas derivadas nos dão os componentes do vetor velocidade da curva, que é paralelo ao vetor tangente .
Calculando as derivadas:
Agora, formamos o vetor velocidade :
O vetor tangente unitário é obtido normalizando o vetor velocidade:
Simplificando o denominador:
Agora, para encontrar o vetor normal unitário , usamos a derivada do vetor tangente em relação a e normalizamos:
Calculando :
Portanto,

Resposta

Para :
Portanto, os vetores tangente e normal no ponto são:

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