Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: b) integral-1^3 integralx^2 x+1 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral-1^3!integralx^2x+1 x,y,dy,dx e esboçar a região R dada por -1<= x<=3 e x<= y<=2x+1. O conteúdo usado será integração iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna, tratamos x como constante e integramos em y:
integralx^2x+1 x,y,dy = x integralx^2x+1 y,dy = x [y^22]y=x^y=2x+1 = x2l[(2x+1)^2 - x^2r]

Passo 3

Vamos simplificar a expressão obtida:
(2x+1)^2 = 4x^2 +4x +1,
então
x2l[(2x+1)^2 - x^2r] = x2(3x^2+4x+1) = 32x^3 +2x^2 + x2

Passo 4

Agora integramos em x de -1 a 3:
integral-1^3 l(32x^3 +2x^2 + x2r) dx = [38x^4 + 23x^3 + 14x^2]-1^3

Passo 5

Avaliando em x=3 e x=-1:
Para x=3:
38cdot81 + 23cdot27 + 14cdot9 = 2438 +18 + 94 = 4058
Para x=-1:
38cdot1 + 23(-1) + 14cdot1 = 924 - 1624 + 624 = -124
Diferença:
4058 - l(-124r) = 4058 + 124 = 121624 = 1523

Passo 6

A região R é o conjunto de pontos (x,y) com -1<= x<=3 entre as retas y=x e y=2x+1. No plano, elas se encontram em (-1,-1), e em x=3 dão os pontos (3,3) e (3,7). Conecta-se essas curvas para esboçar um trapézio.
O valor final da integral é obtido no passo anterior, concluindo o cálculo.

Resposta

1523

Exercícios relacionados