Encontre a curvatura da elipse x = 3 cos(t), y = 4 sen(t) no ponto (3,0) e (0,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curvatura da elipse definida por e nos pontos e . Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as fórmulas de curvatura para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da curvatura para uma curva paramétrica dada por e :
Isso significa que precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos aplicar a fórmula da curvatura. Primeiro, nos pontos dados e , precisamos encontrar os valores de correspondentes.
Para :
Para :

Passo 5

Vamos calcular a curvatura em (ponto ):
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular a curvatura em (ponto ):
Substituindo na fórmula:

Resposta

A curvatura da elipse no ponto é e no ponto é .

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