Determine o(s) ponto(s) do gráfico de f onde a reta tangente é paralela ao eixo x : f(x) = [arctg(x + 1)]^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no gráfico da função onde a reta tangente é paralela ao eixo . Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas e análise de tangentes. Para chegar lá, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero, porque quando a derivada é zero, a reta tangente é horizontal, ou seja, paralela ao eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Então, para encontrar onde a reta tangente é paralela ao eixo , precisamos encontrar onde a derivada de é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Agora, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 5

Sabemos que a derivada de em relação a é . Aqui, , então usando a regra da cadeia novamente:

Passo 6

Substituindo essa derivada de volta na expressão de :

Passo 7

Agora, queremos encontrar onde , ou seja:
Como o denominador nunca é zero (porque é sempre positivo), a única maneira dessa fração ser zero é se o numerador for zero:

Passo 8

Agora, resolvemos . A função quando . Então:

Passo 9

Encontramos que . Agora, vamos achar o valor de nesse ponto para obter as coordenadas completas do ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo :

Resposta

A reta tangente ao gráfico de é paralela ao eixo no ponto .

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