Determine
ponto(s) do gráfico de
onde a reta tangente é paralela ao eixo
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no gráfico da função
onde a reta tangente é paralela ao eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas e análise de tangentes. Para chegar lá, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero, porque quando a derivada é zero, a reta tangente é horizontal, ou seja, paralela ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Então, para encontrar onde a reta tangente é paralela ao eixo
, precisamos encontrar onde a derivada de
é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
.
Passo 5
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então usando a regra da cadeia novamente:
Passo 6
Substituindo essa derivada de volta na expressão de
:
Passo 7
Agora, queremos encontrar onde
, ou seja:
Como o denominador
nunca é zero (porque
é sempre positivo), a única maneira dessa fração ser zero é se o numerador for zero:
Passo 8
Agora, resolvemos
. A função
quando
. Então:
Passo 9
Encontramos que
. Agora, vamos achar o valor de
nesse ponto para obter as coordenadas completas do ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo
:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
é paralela ao eixo
no ponto
.