Encontre a e.d.o. de 2^{a} ordem homogênea, que tenha a seguinte solução geral:
y=C_{1}+C_{2} e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a solução geral
y = C_{1} + C_{2} e^{3x}
e pede: encontrar uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem cuja solução geral seja exatamente essa.
Informações relevantes:
  • A solução geral é uma combinação linear de duas funções: y_{1}(x)=1 e y_{2}(x)=e^{3x}.
  • Quer-se uma e.d.o. homogênea de segunda ordem (ou seja, uma equação linear de ordem 2 com lado direito zero).

Passo 2

Observação importante sobre soluções fundamentais: para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear de duas soluções linearmente independentes. Então precisamos que y_{1} e y_{2} sejam linearmente independentes.
Calculo do Wronskiano para verificar independência:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & e^{3x} \\[4pt] 0 & 3e^{3x} \end{vmatrix} = 1\cdot 3e^{3x} - 0\cdot e^{3x} = 3e^{3x}.
Como W(y_{1},y_{2})(x)=3e^{3x}\neq 0 para todo x, as funções 1 e e^{3x} são linearmente independentes e formam uma base de soluções de uma e.d.o. linear de 2ª ordem.]

Passo 3

Escolha do método: uma forma natural de obter uma e.d.o. de segunda ordem cuja base de soluções seja \{1,e^{3x}\} é usar um operador linear com coeficientes constantes cuja equação característica tenha raízes correspondentes às exponenciais presentes. Em geral, para coeficientes constantes, uma raiz r da equação característica gera a solução e^{rx}; a raiz r=0 gera e^{0x}=1. Assim devemos ter raízes r=0 e r=3.

Passo 4

Formamos o polinômio característico com as raízes 0 e 3:
r(r-3)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-3r=0.
Associando esse polinômio ao operador diferencial (D^{2}-3D) (onde D=\dfrac{d}{dx}), a equação diferencial correspondente é
y''-3y'=0.
Explicando passo a passo: o polinômio característico r^{2}-3r corresponde ao operador D^{2}-3D aplicado a y. Igualando a zero obtemos a e.d.o. homogênea de segunda ordem desejada.

Passo 5

Verificação direta (é sempre bom checar na prova): tomar a solução geral dada y=C_{1}+C_{2}e^{3x} e calcular derivadas.
y' = 0 + C_{2}\cdot 3e^{3x} = 3C_{2}e^{3x}, \qquad y'' = 9C_{2}e^{3x}.
Substituindo em y''-3y':
y''-3y' = 9C_{2}e^{3x} - 3\cdot(3C_{2}e^{3x}) = 9C_{2}e^{3x}-9C_{2}e^{3x}=0.
Para a parte constante C_{1} temos y'=0 e y''=0, então também satisfaz a equação. Logo toda combinação C_{1}+C_{2}e^{3x} satisfaz y''-3y'=0, então é a solução geral dessa e.d.o.

Passo 6

Comentário final e dica de prova: a construção via polinômio característico é o caminho mais curto quando a solução geral é soma de exponenciais (incluindo a exponencial trivial e^{0x}=1). Outra forma equivalente é escrever o operador fatorado (D)(D-3)y=0, que leva diretamente a y''-3y'=0. Em uma prova, diga qual é a base de soluções, verifique independência (breve justificativa como o Wronskiano ou observação das funções), e então construa o polinômio característico cujas raízes geram essas soluções.

Resposta

y''-3y'=0

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