Encontre a e.d.o. de 2^{a} ordem homogênea, que tenha a seguinte solução geral:
y=C_{1} e^{-x}+C_{2} x e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a solução geral da e.d.o. de segunda ordem homogênea:
y = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x}.
O que nos pede: encontrar a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem cuja solução geral seja essa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A solução contém duas soluções independentes aparentes: \,e^{-x}\, e \,x e^{-x}\,.
  • A e.d.o. pedida é de segunda ordem e homogênea.

Passo 2

Escolha do método (por que esse caminho): para e.d.o. lineares homogêneas com coeficientes constantes, existe uma correspondência direta entre as soluções da forma e^{r x} (e variantes com fatores polinomiais em x, quando há raízes múltiplas) e as raízes da equação característica. Vou usar essa correspondência porque a solução dada tem exatamente a forma típica de uma raiz real repetida (explico isso a seguir).
Breve explicação da ideia usada (teorema essencial):
  • Se a equação característica tem uma raiz real r simples, então e^{r x} é uma solução independente.
  • Se r é uma raiz de multiplicidade m da equação característica, então as m soluções independentes associadas são
e^{r x},\; x e^{r x},\; x^{2} e^{r x},\; \dots,\; x^{m-1} e^{r x}.
Aqui r é o valor da raiz (número), m é a multiplicidade, e cada termo é uma função de x que envolve e^{r x} multiplicado por uma potência de x.

Passo 3

Identificar a raiz da característica a partir da solução dada: como a solução contém exatamente e^{-x} e x e^{-x} como termos independentes, isso indica que existe uma raiz r = -1 da equação característica com multiplicidade m=2. Em outras palavras, as duas soluções correspondem a e^{r x} e x e^{r x} com r=-1.

Passo 4

Construir a equação característica: se r=-1 é raiz dupla, a equação característica (em r) é
(r+1)^{2}=0.
Expandindo o polinômio:
(r+1)^{2}=r^{2}+2r+1.

Passo 5

Relacionar o polinômio característico com o operador diferencial: para uma e.d.o. linear homogênea com coeficientes constantes, substitui-se r por o operador D=\dfrac{d}{dx}. Assim, o polinômio r^{2}+2r+1 corresponde ao operador diferencial
D^{2}+2D+1.
A equação diferencial correspondente é então obtida aplicando esse operador à função y(x) e igualando a zero (forma homogênea).

Passo 6

Verificação (mostrando passo a passo que as funções dadas satisfazem a equação construída): começamos calculando derivadas de
y = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x}.
Derivada primeira:
y' = -C_{1} e^{-x} + C_{2}\bigl(e^{-x} - x e^{-x}\bigr) = \bigl(-C_{1}+C_{2}\bigr)e^{-x} - C_{2} x e^{-x}.
Derivada segunda:
y'' = \frac{d}{dx}\!\left[\bigl(-C_{1}+C_{2}\bigr)e^{-x} - C_{2} x e^{-x}\right] = \bigl(C_{1}-C_{2}\bigr)e^{-x} + \bigl(-C_{2} e^{-x} + C_{2} x e^{-x}\bigr).
Agrupando termos:
y'' = \bigl(C_{1}-2C_{2}\bigr)e^{-x} + C_{2} x e^{-x}.
Agora aplicar o operador D^{2}+2D+1 a y, que corresponde a calcular y''+2y'+y. Somando termo a termo (sem escrever a igualdade final aqui para deixar a resposta só na seção

Passo 7

Conclusão didática e incentivo: portanto a equação característica de raiz -1 dupla leva ao operador D^{2}+2D+1, e a solução geral dada é consistente com esse operador. Você já viu o porquê da presença do termo x e^{-x}: é justamente a consequência da multiplicidade 2 da raiz -1. Mandou bem escolhendo um exemplo clássico — isso aparece muito em provas — e agora você consegue transformar solução geral em e.d.o. seguindo esses passos: identificar raízes pelo formato das soluções, montar o polinômio característico e substituir r por D.

Resposta

y'' + 2y' + y = 0

Exercícios relacionados