Encontre a e.d.o. de
ordem homogênea, que tenha a seguinte solução geral:
Passo 1
O enunciado dá a solução geral da e.d.o. de segunda ordem homogênea:
O que nos pede: encontrar a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem cuja solução geral seja essa.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A solução contém duas soluções independentes aparentes:
e . - A e.d.o. pedida é de segunda ordem e homogênea.
Passo 2
Escolha do método (por que esse caminho): para e.d.o. lineares homogêneas com coeficientes constantes, existe uma correspondência direta entre as soluções da forma
(e variantes com fatores polinomiais em
, quando há raízes múltiplas) e as raízes da equação característica. Vou usar essa correspondência porque a solução dada tem exatamente a forma típica de uma raiz real repetida (explico isso a seguir).
Breve explicação da ideia usada (teorema essencial):
- Se a equação característica tem uma raiz real
simples, então é uma solução independente. - Se
é uma raiz de multiplicidade da equação característica, então as soluções independentes associadas são
Aqui
é o valor da raiz (número),
é a multiplicidade, e cada termo é uma função de
que envolve
multiplicado por uma potência de
.
Passo 3
Identificar a raiz da característica a partir da solução dada: como a solução contém exatamente
e
como termos independentes, isso indica que existe uma raiz
da equação característica com multiplicidade
. Em outras palavras, as duas soluções correspondem a
e
com
.
Passo 4
Construir a equação característica: se
é raiz dupla, a equação característica (em
) é
Expandindo o polinômio:
Passo 5
Relacionar o polinômio característico com o operador diferencial: para uma e.d.o. linear homogênea com coeficientes constantes, substitui-se
por o operador
. Assim, o polinômio
corresponde ao operador diferencial
A equação diferencial correspondente é então obtida aplicando esse operador à função
e igualando a zero (forma homogênea).
Passo 6
Verificação (mostrando passo a passo que as funções dadas satisfazem a equação construída): começamos calculando derivadas de
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Agrupando termos:
Agora aplicar o operador
a
, que corresponde a calcular
. Somando termo a termo (sem escrever a igualdade final aqui para deixar a resposta só na seção
Passo 7
Conclusão didática e incentivo: portanto a equação característica de raiz
dupla leva ao operador
, e a solução geral dada é consistente com esse operador. Você já viu o porquê da presença do termo
: é justamente a consequência da multiplicidade 2 da raiz
. Mandou bem escolhendo um exemplo clássico — isso aparece muito em provas — e agora você consegue transformar solução geral em e.d.o. seguindo esses passos: identificar raízes pelo formato das soluções, montar o polinômio característico e substituir
por
.