Encontre
por derivação implícita de:
Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede para encontrar
(a derivada de
em relação a
). Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona
e implicitamente (não temos isolado em função de explicitamente).
- O lado direito é a constante
.
- Geometricamente, essa é a equação de um círculo de raio
, mas o que importa para a conta é a igualdade algébrica acima.
Passo 2
Para derivar uma igualdade que envolve
e
quando queremos
, tratamos
como função de
; ou seja, escrevemos mentalmente
. Assim, quando derivamos uma expressão com
em relação a
precisamos usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples:
- Se temos uma função composta
, a derivada em relação a é .
Aplicando isso a: a função externa é cuja derivada é ; a função interna é cuja derivada é . Logo
Aqui
é justamente o que queremos encontrar.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da equação original em relação a
. Derivando termo a termo e usando a regra da cadeia no termo que contém
, obtemos
Usando o resultado do passo anterior e as derivadas básicas:
-
,
-
(porque aqui é a variável de diferenciação),
-
(derivada de constante).
Portanto obtemos a equação
Passo 4
Agora resolvemos essa equação para isolar
. Primeiro subtraímos
dos dois lados:
Em seguida dividimos ambos os lados por
. Aqui precisamos ter cuidado: essa divisão só é válida quando
. Se
o ponto está nos extremos verticais do círculo e a derivada precisa ser tratada separadamente; mas para
podemos dividir e obter a expressão da derivada.
Passo 5
Dividindo por
(assumindo
) temos
Podemos simplificar o fator
no numerador e no denominador para obter a forma final (mostro isso no próximo passo).
Passo 6
Simplificando
cancelando o
, chegamos à expressão final para a derivada (válida quando
). Um exemplo numérico rápido: no ponto
, que satisfaz
, a derivada vale
, ou seja, um pequeno aumento em
faz
diminuir na razão indicada.