Encontre d x / d y por derivação implícita de:
x^{2}+y^{2}=16

Passo 1

O enunciado dá a relação
x^{2}+y^{2}=16
e pede para encontrar \dfrac{d x}{d y} (a derivada de x em relação a y). Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona x e y implicitamente (não temos x isolado em função de y explicitamente).
  • O lado direito é a constante 16.
  • Geometricamente, essa é a equação de um círculo de raio 4, mas o que importa para a conta é a igualdade algébrica acima.

Passo 2

Para derivar uma igualdade que envolve x e y quando queremos \dfrac{d x}{d y}, tratamos x como função de y; ou seja, escrevemos mentalmente x=x(y). Assim, quando derivamos uma expressão com x em relação a y precisamos usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples:
  • Se temos uma função composta u(v(y)), a derivada em relação a y é u'(v(y))\cdot v'(y).

    Aplicando isso a x(y)^{2}: a função externa é u(u)=u^{2} cuja derivada é 2u; a função interna é x(y) cuja derivada é x'(y)=\dfrac{d x}{d y}. Logo
\frac{d}{dy}\big(x(y)^{2}\big)=2x(y)\cdot\frac{d x}{d y}.
Aqui \dfrac{d x}{d y} é justamente o que queremos encontrar.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da equação original em relação a y. Derivando termo a termo e usando a regra da cadeia no termo que contém x, obtemos
\frac{d}{dy}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=\frac{d}{dy}(16).
Usando o resultado do passo anterior e as derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dy}\big(x^{2}\big)=2x\cdot\dfrac{d x}{d y},
  • \dfrac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=2y (porque aqui y é a variável de diferenciação),
  • \dfrac{d}{dy}(16)=0 (derivada de constante).

    Portanto obtemos a equação
2x\cdot\frac{d x}{d y}+2y=0.

Passo 4

Agora resolvemos essa equação para isolar \dfrac{d x}{d y}. Primeiro subtraímos 2y dos dois lados:
2x\cdot\frac{d x}{d y}=-2y.
Em seguida dividimos ambos os lados por 2x. Aqui precisamos ter cuidado: essa divisão só é válida quando x\neq 0. Se x=0 o ponto está nos extremos verticais do círculo e a derivada precisa ser tratada separadamente; mas para x\neq 0 podemos dividir e obter a expressão da derivada.

Passo 5

Dividindo por 2x (assumindo x\neq 0) temos
\frac{d x}{d y}=-\frac{2y}{2x}.
Podemos simplificar o fator 2 no numerador e no denominador para obter a forma final (mostro isso no próximo passo).

Passo 6

Simplificando -\dfrac{2y}{2x} cancelando o 2, chegamos à expressão final para a derivada (válida quando x\neq 0). Um exemplo numérico rápido: no ponto (x,y)=(3,\sqrt{7}), que satisfaz 3^{2}+(\sqrt{7})^{2}=9+7=16, a derivada vale -\dfrac{\sqrt{7}}{3}, ou seja, um pequeno aumento em y faz x diminuir na razão indicada.

Resposta

\displaystyle \frac{d x}{d y}=-\frac{y}{x}

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