Encontre d y / d x por derivação implícita.
x e^{y}=x-y

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y:
x e^{y} = x - y
E pede para encontrar \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes: a igualdade vale para todos os pares (x,y) que satisfazem a relação; y depende de x (ou seja, y é uma função implícita de x). Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Aqui preciso te lembrar duas regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se temos duas funções de x, u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derive a primeira vez a segunda fica como está, depois derive a segunda e multiplica pela primeira.
  • Regra da cadeia: se y é função de x, então para uma função composta e^{y(x)},
\frac{d}{dx}e^{y(x)} = e^{y(x)}\cdot \frac{dy}{dx}.
Ou seja, derivada de e^{y} em relação a x é e^{y} vezes y', porque derivamos em relação a y e multiplicamos por dy/dx.
Essas duas regras são suficientes para proceder.

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao termo da esquerda x e^{y}:
  • derive x (que é 1) e multiplique por e^{y},
  • depois mantenha x e derive e^{y} usando a regra da cadeia.
Portanto a derivada da esquerda é
\frac{d}{dx}\big(x e^{y}\big) = 1\cdot e^{y} + x\cdot \big(e^{y}\cdot \frac{dy}{dx}\big) = e^{y} + x e^{y}\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora derive o lado direito x - y:
  • derivada de x em relação a x é 1,
  • derivada de -y em relação a x é -\dfrac{dy}{dx}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(x - y\big) = 1 - \frac{dy}{dx}.

Passo 5

Igualando as derivadas obtidas nos passos anteriores, temos
e^{y} + x e^{y}\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}.
Agora vamos isolar \dfrac{dy}{dx}. Primeiro agrupo os termos que têm \dfrac{dy}{dx} num lado e os demais no outro:
x e^{y}\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - e^{y}.

Passo 6

Fatore \dfrac{dy}{dx} do lado esquerdo:
\left(x e^{y} + 1\right)\frac{dy}{dx} = 1 - e^{y}.
Agora basta dividir ambos os lados por \left(x e^{y} + 1\right) (desde que não seja zero) para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 7

Realizando a divisão obtemos a expressão final para a derivada:
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{y}}{1 + x e^{y}}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-e^{y}}{1+x e^{y}}

Exercícios relacionados