Encontre
por derivação implícita.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
E pede para encontrar
.
Informações relevantes: a igualdade vale para todos os pares que satisfazem a relação;
depende de
(ou seja,
é uma função implícita de
). Não há outros dados numéricos.
Informações relevantes: a igualdade vale para todos os pares
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Aqui preciso te lembrar duas regras que vamos usar:
- Regra do produto: se temos duas funções de
, e , então
Isto significa: derive a primeira vez a segunda fica como está, depois derive a segunda e multiplica pela primeira.
- Regra da cadeia: se
é função de , então para uma função composta ,
Ou seja, derivada de
em relação a
é
vezes
, porque derivamos em relação a
e multiplicamos por
.
Essas duas regras são suficientes para proceder.
Passo 3
Aplicando a regra do produto ao termo da esquerda
:
- derive
(que é ) e multiplique por , - depois mantenha
e derive usando a regra da cadeia.
Portanto a derivada da esquerda é
Passo 4
Agora derive o lado direito
:
- derivada de
em relação a é , - derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 5
Igualando as derivadas obtidas nos passos anteriores, temos
Agora vamos isolar
. Primeiro agrupo os termos que têm
num lado e os demais no outro:
Passo 6
Fatore
do lado esquerdo:
Agora basta dividir ambos os lados por
(desde que não seja zero) para obter
.
Passo 7
Realizando a divisão obtemos a expressão final para a derivada: