Encontre
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: temos as funções em parâmetro
O pedido é encontrar
. Observações sobre o domínio: como aparece
e
, precisamos de
(não consideramos
porque
não estaria definida).
Passo 2
Qual método vamos usar (explicação didática):
e
estão dadas em função de
— isto é uma parametrização. Para curvas parametrizadas a derivada de
em relação a
é dada pela razão das derivadas em relação a
:
Por que isso funciona? Pela regra da cadeia: se
e
são funções de
, então
. Isolando
obtemos a fórmula acima. É uma forma muito prática: calculamos
e
separadamente e dividimos.
Passo 3
Calcular
. Primeiro reescrevo
de forma conveniente:
Aplico a regra do poder (power rule): se
então
. Assim
Passo 4
Calcular
. Reescrevo
como potência:
Aplicando a regra do poder:
Passo 5
Divido as derivadas usando a fórmula paramétrica:
Se preferir escrever
em função de
, uso
(vindo de
), então
portanto