Encontre d y / d x.
x=1 / t, \quad y=\sqrt{t} e^{-1}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: temos as funções em parâmetro t
x=\frac{1}{t},\qquad y=\sqrt{t}\,e^{-1}.
O pedido é encontrar \dfrac{dy}{dx}. Observações sobre o domínio: como aparece \sqrt{t} e 1/t, precisamos de t>0 (não consideramos t=0 porque x não estaria definida).

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática): x e y estão dadas em função de t — isto é uma parametrização. Para curvas parametrizadas a derivada de y em relação a x é dada pela razão das derivadas em relação a t:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Por que isso funciona? Pela regra da cadeia: se y e x são funções de t, então \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}. Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos a fórmula acima. É uma forma muito prática: calculamos \dfrac{dy}{dt} e \dfrac{dx}{dt} separadamente e dividimos.

Passo 3

Calcular \dfrac{dy}{dt}. Primeiro reescrevo y de forma conveniente:
y=\sqrt{t}\,e^{-1}=\frac{1}{e}\,t^{1/2}.
Aplico a regra do poder (power rule): se f(t)=t^{n} então f'(t)=n t^{n-1}. Assim
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{e}\cdot\frac{1}{2}t^{1/2-1}=\frac{1}{2e}\,t^{-1/2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt}. Reescrevo x como potência:
x=\frac{1}{t}=t^{-1}.
Aplicando a regra do poder:
\frac{dx}{dt}=-1\cdot t^{-2}=-t^{-2}.

Passo 5

Divido as derivadas usando a fórmula paramétrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} =\frac{\dfrac{1}{2e}\,t^{-1/2}}{-t^{-2}} =\frac{1}{2e}\,t^{-1/2}\cdot\left(-t^{2}\right) =-\frac{1}{2e}\,t^{3/2}.
Se preferir escrever \dfrac{dy}{dx} em função de x, uso t=\dfrac{1}{x} (vindo de x=1/t), então
t^{3/2}=\left(\frac{1}{x}\right)^{3/2}=\frac{1}{x^{3/2}},
portanto
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2e}\,\frac{1}{x^{3/2}}=-\frac{1}{2e}\,x^{-3/2}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2e}\,t^{3/2} \
\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2e}\,x^{-3/2}=-\frac{1}{2e\,x^{3/2}}

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