Use o método de eliminação de Gauss-Jordan para resolver o sistema de equações abaixo. Apresente formalmente o conjunto solução.
\left\{\begin{array}{r} 2 x+y-z+w=2 \\\ x+2 y+z-w=1 \\\\ -y+2 z+w=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{r} 2x+y-z+w=2\\[4pt] x+2y+z-w=1\\[4pt] -y+2z+w=2 \end{array}\right.
ou seja: encontrar todos os quadruplos (x,y,z,w) que satisfazem simultaneamente as três equações. As informações dadas são exatamente os coeficientes e termos independentes das três equações listadas acima. A resposta final deve ser o conjunto solução do sistema.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes das variáveis x,y,z,w e a coluna dos termos à direita. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right].
Aqui cada linha corresponde a uma equação e cada coluna, da esquerda para a direita, às variáveis x, y, z, w e à coluna de constantes.]

Passo 3

Breve explicação do método Gauss–Jordan (em linguagem simples): queremos transformar a matriz aumentada por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) até ficar numa forma em que cada variável básica apareça isolada com coeficiente 1 numa linha (chamado de forma reduzida por linhas ou RREF). Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. Chamamos “pivô” ao primeiro coeficiente não nulo numa linha após essa transformação.

Passo 4

Começamos escolhendo um pivô na primeira coluna. É conveniente ter 1 como pivô, então trocamos a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 2 tem 1 no lugar do pivô):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 5

Zeramos abaixo do pivô da coluna 1 (transformar o 2 em zero na linha 2). Usamos a operação R_2 := R_2 - 2R_1.
Calculemos entrada a entrada:
R_2 = [2,1,-1,1\mid 2] - 2\cdot[1,2,1,-1\mid 1] = [0,-3,-3,3\mid 0].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & -3 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 6

Escalamos a linha 2 para ter pivô 1 na coluna 2. Multiplicamos R_2 por -\tfrac{1}{3}:
Operação: R_2 := -\tfrac{1}{3}R_2.
Então
R_2 = [0,-3,-3,3\mid 0]\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right) = [0,1,1,-1\mid 0].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 7

Zeramos os outros elementos da coluna 2 (acima e abaixo do pivô de R_2). Para isso:
  • R_1 := R_1 - 2R_2 (elimina o 2 em R_1).
  • R_3 := R_3 + R_2 (elimina o -1 em R_3).
Calculando:
R_1 = [1,2,1,-1\mid1] - 2\cdot[0,1,1,-1\mid0] = [1,0,-1,1\mid1],
R_3 = [0,-1,2,1\mid2] + [0,1,1,-1\mid0] = [0,0,3,0\mid2].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora temos uma linha com coeficiente 3 na coluna 3; vamos obter pivô 1 dividindo a linha 3 por 3:
Operação: R_3 := \tfrac{1}{3}R_3.
R_3 = [0,0,3,0\mid2]\cdot\tfrac{1}{3} = [0,0,1,0\mid \tfrac{2}{3}].
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].]

Passo 9

Zeramos as entradas acima do pivô em coluna 3 (eliminar -1 em R_1 e 1 em R_2). Para isso:
  • R_1 := R_1 + R_3 (porque -1+1=0).
  • R_2 := R_2 - R_3 (porque 1-1=0).
Calculando:
R_1 = [1,0,-1,1\mid1] + [0,0,1,0\mid \tfrac{2}{3}] = [1,0,0,1\mid 1+\tfrac{2}{3}] = [1,0,0,1\mid \tfrac{5}{3}],
R_2 = [0,1,1,-1\mid0] - [0,0,1,0\mid \tfrac{2}{3}] = [0,1,0,-1\mid -\tfrac{2}{3}].
A matriz final em forma reduzida é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].]

Passo 10

Interpretando a matriz final como sistema de equações (cada linha corresponde a uma equação):
\begin{aligned} x + w &= \tfrac{5}{3},\\[4pt] y - w &= -\tfrac{2}{3},\\[4pt] z &= \tfrac{2}{3}. \end{aligned}
Aqui z é determinado: z=\tfrac{2}{3}. A coluna correspondente a w não tem pivô (a coluna 4 não é coluna de pivô), então w é uma variável livre — podemos chamar w=t com t\in\mathbb{R}. Usando t obtemos
\begin{aligned} w &= t,\\[4pt] y &= w - \tfrac{2}{3} = t - \tfrac{2}{3},\\[4pt] x &= \tfrac{5}{3} - w = \tfrac{5}{3} - t,\\[4pt] z &= \tfrac{2}{3}. \end{aligned}
É boa prática checar com um valor de t (por exemplo t=0) que as equações originais são satisfeitas; isso confirma consistência.]

Resposta

\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid (x,y,z,w)=\Big(\tfrac{5}{3}-t,\;t-\tfrac{2}{3},\;\tfrac{2}{3},\;t\Big),\\ t\in\mathbb{R}\right\}

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