ou seja: encontrar todos os quadruplos (x,y,z,w) que satisfazem simultaneamente as três equações. As informações dadas são exatamente os coeficientes e termos independentes das três equações listadas acima. A resposta final deve ser o conjunto solução do sistema.]
Passo 2
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes das variáveis x,y,z,w e a coluna dos termos à direita. A matriz aumentada é
Aqui cada linha corresponde a uma equação e cada coluna, da esquerda para a direita, às variáveis x, y, z, w e à coluna de constantes.]
Passo 3
Breve explicação do método Gauss–Jordan (em linguagem simples): queremos transformar a matriz aumentada por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) até ficar numa forma em que cada variável básica apareça isolada com coeficiente 1 numa linha (chamado de forma reduzida por linhas ou RREF). Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. Chamamos “pivô” ao primeiro coeficiente não nulo numa linha após essa transformação.
Passo 4
Começamos escolhendo um pivô na primeira coluna. É conveniente ter 1 como pivô, então trocamos a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 2 tem 1 no lugar do pivô):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
A matriz fica
Interpretando a matriz final como sistema de equações (cada linha corresponde a uma equação):
\begin{aligned} x + w &= \tfrac{5}{3},\\[4pt] y - w &= -\tfrac{2}{3},\\[4pt] z &= \tfrac{2}{3}. \end{aligned}
Aqui z é determinado: z=\tfrac{2}{3}. A coluna correspondente a w não tem pivô (a coluna 4 não é coluna de pivô), então w é uma variável livre — podemos chamar w=t com t\in\mathbb{R}. Usando t obtemos
\begin{aligned} w &= t,\\[4pt] y &= w - \tfrac{2}{3} = t - \tfrac{2}{3},\\[4pt] x &= \tfrac{5}{3} - w = \tfrac{5}{3} - t,\\[4pt] z &= \tfrac{2}{3}. \end{aligned}
É boa prática checar com um valor de t (por exemplo t=0) que as equações originais são satisfeitas; isso confirma consistência.]