Resolva a equação de Ricatti:
\frac{d y}{d x}=-2-y-y^{2}, \quad y_{p}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
\frac{dy}{dx} = -2 - y - y^{2},
e informa uma solução particular y_{p}=2.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  1. A equação é do tipo Riccati, ou seja tem forma \displaystyle y' = a(x) + b(x)y + c(x)y^{2}. Aqui \,a=-2,\; b=-1,\; c=-1 (constantes).
  2. Foi dada uma solução particular y_{p}=2 (vamos assumir, como pedido, que essa é uma solução particular fornecida).
  3. Precisamos encontrar a solução geral usando essa informação.

Passo 2

Ideia e fórmula-chave (aula rápida): quando temos uma equação de Riccati
\frac{dy}{dx}=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}
e conhecemos uma solução particular y_{p}(x), a substituição
y(x)=y_{p}(x)+\frac{1}{u(x)}
transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem para u(x). Vou mostrar por que isso acontece (passo-a-passo algebraico), porque é importante entender a transformação para usar na prova.
Começamos calculando a derivada de y:
y' = y_{p}' - \frac{u'}{u^{2}}.
Substituindo na Riccati:
y_{p}' - \frac{u'}{u^{2}} = a + b\Big(y_{p}+\frac{1}{u}\Big) + c\Big(y_{p}+\frac{1}{u}\Big)^{2}.
Expandindo o lado direito:
a + b y_{p} + \frac{b}{u} + c\big(y_{p}^{2} + \frac{2y_{p}}{u} + \frac{1}{u^{2}}\big) = \big(a + b y_{p} + c y_{p}^{2}\big) + \frac{b + 2c y_{p}}{u} + \frac{c}{u^{2}}.
Agora, porque y_{p} é solução particular, ela satisfaz
y_{p}' = a + b y_{p} + c y_{p}^{2},
logo os termos correspondentes se cancelam, sobrando
- \frac{u'}{u^{2}} = \frac{b + 2c y_{p}}{u} + \frac{c}{u^{2}}.
Multiplicando por u^{2} obtemos uma equação linear para u:
-u' = (b + 2c y_{p})\,u + c,
ou seja
u' + (b + 2c y_{p})\,u + c = 0.
Essa é uma equação linear de primeira ordem em u; resolvendo-a obtemos u e então y=y_{p}+1/u.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificamos a=-2, b=-1, c=-1 e o y_{p}=2 (dado). Calculamos o coeficiente que aparece na equação linear:
b + 2c y_{p} = -1 + 2\cdot(-1)\cdot 2 = -1 -4 = -5,
e c=-1. Assim a equação para u é
u' + (-5)\,u + (-1) = 0,
ou rearranjando,
u' -5u = 1.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
u' -5u = 1.
Método padrão (fator integrante): escrevemos u' + p(x)u = q(x) com p(x)=-5 e q(x)=1. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -5\,dx}=e^{-5x}.
Multiplicando a equação por \mu obtemos
(e^{-5x}u)' = e^{-5x}\cdot 1 = e^{-5x}.
Integrando ambos os lados em x:
e^{-5x}u = \int e^{-5x}\,dx + C = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por e^{5x} temos
u(x) = -\frac{1}{5} + C e^{5x}.

Passo 5

Voltando à substituição y = y_{p} + \dfrac{1}{u} com y_{p}=2:
y(x) = 2 + \frac{1}{u(x)} = 2 + \frac{1}{-\tfrac{1}{5} + C e^{5x}}.
Fazendo uma simplificação algébrica útil: escrevendo u(x)=\dfrac{-1+5C e^{5x}}{5} temos
\frac{1}{u(x)} = \frac{5}{-1+5C e^{5x}} = \frac{5}{5C e^{5x}-1}.
Portanto a solução geral fica
y(x) = 2 + \frac{5}{5C e^{5x}-1},
onde C é constante arbitrária real (a escolha C=0 também é permitida, desde que não gere divisão por zero em algum ponto). Observação rápida: pontos onde 5C e^{5x}-1=0 correspondem a singularidades (explosões) da solução; isso é normal em Riccati (soluções podem ter polos).

Resposta

\displaystyle y(x)=2+\frac{5}{5C e^{5x}-1}, onde C é constante arbitrária.

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