Resolva a equação de Ricatti:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
e informa uma solução particular
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A equação é do tipo Riccati, ou seja tem forma
. Aqui (constantes). - Foi dada uma solução particular
(vamos assumir, como pedido, que essa é uma solução particular fornecida). - Precisamos encontrar a solução geral usando essa informação.
Passo 2
Ideia e fórmula-chave (aula rápida): quando temos uma equação de Riccati
e conhecemos uma solução particular
, a substituição
transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem para
. Vou mostrar por que isso acontece (passo-a-passo algebraico), porque é importante entender a transformação para usar na prova.
Começamos calculando a derivada de
:
Substituindo na Riccati:
Expandindo o lado direito:
Agora, porque
é solução particular, ela satisfaz
logo os termos correspondentes se cancelam, sobrando
Multiplicando por
obtemos uma equação linear para
:
ou seja
Essa é uma equação linear de primeira ordem em
; resolvendo-a obtemos
e então
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificamos
,
,
e o
(dado). Calculamos o coeficiente que aparece na equação linear:
e
. Assim a equação para
é
ou rearranjando,
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Método padrão (fator integrante): escrevemos
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
temos
Passo 5
Voltando à substituição
com
:
Fazendo uma simplificação algébrica útil: escrevendo
temos
Portanto a solução geral fica
onde
é constante arbitrária real (a escolha
também é permitida, desde que não gere divisão por zero em algum ponto). Observação rápida: pontos onde
correspondem a singularidades (explosões) da solução; isso é normal em Riccati (soluções podem ter polos).