Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada. O que temos:
- A função é
. - Como informação implícita: o domínio natural exige
, ou seja (para que o logaritmo natural e a raiz de índice ímpar sejam bem definidos da forma apresentada).
O que é pedido: calcular a expressão de
em termos de
.
Passo 2
Vou usar uma propriedade muito útil dos logaritmos para simplificar a forma antes de derivar. Regra do logaritmo potência:
para
e qualquer real
. Aqui
e
, pois
. Então aplicando a regra:
Explicando devagar: tiramos o expoente
para frente do logaritmo — isso simplifica muito a derivação.
Passo 3
Agora vamos lembrar a regra de derivação do logaritmo natural. Se
é uma função diferenciável e positiva, então
Aqui
. Vamos aplicar essa regra passo a passo. Primeiro escrevemos
já simplificado:
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
. A constante
sai da derivada:
Agora aplicamos a fórmula do passo anterior com
. Calculamos
: como
, tem-se
. Assim
Passo 5
Substituindo na expressão da derivada:
Se quiser ver por outro caminho (sem primeiro usar a propriedade do log), dá para aplicar a regra da cadeia diretamente a
. Nesse caso:
E
. Multiplicando:
o mesmo resultado. Duas rotas, mesma resposta — bom sinal.