Encontre d y / d x.
y=\ln (\sqrt[3]{x+1})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada. O que temos:
  • A função é \displaystyle y=\ln\bigl(\sqrt[3]{x+1}\bigr).
  • Como informação implícita: o domínio natural exige x+1>0, ou seja x>-1 (para que o logaritmo natural e a raiz de índice ímpar sejam bem definidos da forma apresentada).
O que é pedido: calcular a expressão de \dfrac{d y}{d x} em termos de x.

Passo 2

Vou usar uma propriedade muito útil dos logaritmos para simplificar a forma antes de derivar. Regra do logaritmo potência:
\ln\bigl(u^a\bigr)=a\ln(u),
para u>0 e qualquer real a. Aqui u=x+1 e a=\tfrac{1}{3}, pois \sqrt[3]{x+1}=(x+1)^{1/3}. Então aplicando a regra:
y=\ln\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)=\tfrac{1}{3}\ln(x+1).
Explicando devagar: tiramos o expoente \tfrac{1}{3} para frente do logaritmo — isso simplifica muito a derivação.

Passo 3

Agora vamos lembrar a regra de derivação do logaritmo natural. Se v(x) é uma função diferenciável e positiva, então
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(v(x))\bigr]=\frac{v'(x)}{v(x)}.
Aqui v(x)=x+1. Vamos aplicar essa regra passo a passo. Primeiro escrevemos y já simplificado:
y=\tfrac{1}{3}\ln(x+1).

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a x. A constante \tfrac{1}{3} sai da derivada:
\frac{d y}{d x}=\tfrac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+1)\bigr].
Agora aplicamos a fórmula do passo anterior com v(x)=x+1. Calculamos v'(x): como v(x)=x+1, tem-se v'(x)=1. Assim
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+1)\bigr]=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Substituindo na expressão da derivada:
\frac{d y}{d x}=\tfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3(x+1)}.
Se quiser ver por outro caminho (sem primeiro usar a propriedade do log), dá para aplicar a regra da cadeia diretamente a y=\ln\bigl((x+1)^{1/3}\bigr). Nesse caso:
\frac{d}{dx}\ln\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)=\frac{1}{(x+1)^{1/3}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{1/3}\bigr).
E \dfrac{d}{dx}(x+1)^{1/3}=\tfrac{1}{3}(x+1)^{-2/3}. Multiplicando:
\frac{1}{(x+1)^{1/3}}\cdot\tfrac{1}{3}(x+1)^{-2/3}=\tfrac{1}{3}(x+1)^{-1}=\frac{1}{3(x+1)},
o mesmo resultado. Duas rotas, mesma resposta — bom sinal.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{3(x+1)}

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