Use derivação implícita para mostrar que a equação da reta tangente à curva y^{2}=k x em ( x_{0}, y_{0} ) é
y_{0} y=\frac{1}{2} k\left(x+x_{0}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva \,y^{2}=k x\, e um ponto \,(x_{0},y_{0})\, sobre essa curva (ou seja, \,y_{0}^{2}=k x_{0}\,). Pede-se para mostrar que a equação da reta tangente à curva em \,(x_{0},y_{0})\, é
y_{0}y=\frac{1}{2}k\bigl(x+x_{0}\bigr).
As informações relevantes são:
  • A relação entre x e y dada por \,y^{2}=k x\,.
  • O ponto de tangência \,(x_{0},y_{0})\, satisfaz \,y_{0}^{2}=k x_{0}\,.
  • Deve-se usar derivação implícita para obter a reta tangente.

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): quando a curva é dada por uma equação envolvendo x e y (como \,y^{2}=k x\,), muitas vezes y pode ser vista como função de x, y=y(x), mesmo que não seja fácil isolar y. A derivação implícita significa derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x e aplicando a regra da cadeia quando derivamos expressões que dependem de y.
Regra da cadeia (lembrando de forma simples): se y=y(x) e tem-se uma função composta g(y), a derivada de g(y(x)) em relação a x é g'(y)\cdot y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}. Exemplo rápido e simples: a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Aplicando derivação implícita à equação \,y^{2}=k x\,: derivar ambos os lados em relação a x.
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Derivando o lado direito (é uma função linear de x):
\frac{d}{dx}\bigl(k x\bigr)=k.
Portanto, a igualdade das derivadas dá
2y\cdot\frac{dy}{dx}=k.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva:
\frac{dy}{dx}=\frac{k}{2y}.
Em particular, no ponto \,(x_{0},y_{0})\, a inclinação é
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_{0},y_{0})}=\frac{k}{2y_{0}}.

Passo 5

Equação ponto-declive da reta tangente (fórmula que vamos usar; explicação curta): a reta com declive m passando por \,(x_{0},y_{0})\, tem equação
y-y_{0}=m\bigl(x-x_{0}\bigr).
Substituindo m=\dfrac{k}{2y_{0}} obtemos
y-y_{0}=\frac{k}{2y_{0}}\bigl(x-x_{0}\bigr).

Passo 6

Agora fazemos manipulações algébricas para chegar à forma solicitada. Multiplicando ambos os lados por y_{0} para eliminar o denominador:
y_{0}\bigl(y-y_{0}\bigr)=\frac{k}{2}\bigl(x-x_{0}\bigr).
Expandindo o lado esquerdo:
y_{0}y-y_{0}^{2}=\frac{k}{2}x-\frac{k}{2}x_{0}.
Usamos a informação de que o ponto está na curva, ou seja, \,y_{0}^{2}=k x_{0}\,. Substituindo y_{0}^{2}=k x_{0} no termo da esquerda:
y_{0}y-k x_{0}=\frac{k}{2}x-\frac{k}{2}x_{0}.
Isolando y_{0}y somando k x_{0} em ambos os lados:
y_{0}y=\frac{k}{2}x-\frac{k}{2}x_{0}+k x_{0}.
No lado direito, combinar os termos em x_{0}:
-\frac{k}{2}x_{0}+k x_{0}=\frac{k}{2}x_{0}.
Logo
y_{0}y=\frac{k}{2}x+\frac{k}{2}x_{0}=\frac{k}{2}\bigl(x+x_{0}\bigr).

Passo 7

Interpretação final curta: obtivemos precisamente a forma pedida, que é uma equação linear em x e y representando a reta tangente à curva \,y^{2}=k x\, no ponto \,(x_{0},y_{0})\,.

Resposta

y_{0}y=\frac{1}{2}k\bigl(x+x_{0}\bigr)

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