Use derivação implícita para mostrar que a equação da reta tangente à curva y^{2}=k x em ( x_{0}, y_{0} ) é
y_{0} y=\frac{1}{2} k\left(x+x_{0}\right)
Passo 1
O enunciado dá a curva \,y^{2}=k x\, e um ponto \,(x_{0},y_{0})\, sobre essa curva (ou seja, \,y_{0}^{2}=k x_{0}\,). Pede-se para mostrar que a equação da reta tangente à curva em \,(x_{0},y_{0})\, é
y_{0}y=\frac{1}{2}k\bigl(x+x_{0}\bigr).
As informações relevantes são:
A relação entre x e y dada por \,y^{2}=k x\,.
O ponto de tangência \,(x_{0},y_{0})\, satisfaz \,y_{0}^{2}=k x_{0}\,.
Deve-se usar derivação implícita para obter a reta tangente.
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática): quando a curva é dada por uma equação envolvendo x e y (como \,y^{2}=k x\,), muitas vezes y pode ser vista como função de x, y=y(x), mesmo que não seja fácil isolar y. A derivação implícita significa derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x e aplicando a regra da cadeia quando derivamos expressões que dependem de y.
Regra da cadeia (lembrando de forma simples): se y=y(x) e tem-se uma função composta g(y), a derivada de g(y(x)) em relação a x é g'(y)\cdot y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}. Exemplo rápido e simples: a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.
Passo 3
Aplicando derivação implícita à equação \,y^{2}=k x\,: derivar ambos os lados em relação a x.
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
Interpretação final curta: obtivemos precisamente a forma pedida, que é uma equação linear em x e y representando a reta tangente à curva \,y^{2}=k x\, no ponto \,(x_{0},y_{0})\,.