Encontre d/y d/x se for possível em cada caso a seguir: x sen(x y) + y = 0;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar na equação . Vamos usar derivadas implícitas para resolver isso, que é quando a gente tem y definido de forma indireta em função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos com , precisamos usar a regra da cadeia, porque é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para , usamos a regra do produto:
    A derivada de é 1, então:
    Agora, derivamos usando a regra do produto novamente:
    Então, a derivada completa de fica:
  2. Para , a derivada é simplesmente .

Passo 4

Juntando tudo, a derivada do lado esquerdo da equação fica:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, distribuímos :
Colocamos os termos com de um lado:
Finalmente, isolamos :

Resposta

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