Calcule a integral de linha
, onde
é a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha. Basicamente, queremos somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a curva é definida por
,
,
para
entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a parametrização da curva
como um vetor posição
:
Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 2, temos um ponto na curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada nos dá a direção e a velocidade com que percorremos a curva à medida que
varia.
Passo 4
Em seguida, vamos substituir a parametrização na função vetorial
:
Aqui, substituímos
,
e
pelas suas respectivas expressões em termos de
.
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Vamos simplificar cada termo:
Então, temos:
Passo 6
Agora, configuramos a integral de linha como uma integral comum em termos de
de 0 a 2:
Isso significa que vamos integrar essa expressão polinomial no intervalo especificado.
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Agora, somamos todos os resultados:
Para somar, vamos encontrar o denominador comum, que é 105:
Somando tudo:
Resposta
A integral de linha vale aproximadamente 111,52.