Se
, é possível expressar z como uma função de
e y em uma vizinhança de
? Em caso afirmativo, é possivel obter
de maneira explícita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e queremos saber se dá para escrever
como uma função de
e
perto do ponto
. Para isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a resolver equações onde uma variável está “presa” de forma complicada. Precisamos verificar algumas condições desse teorema para ver se dá para isolar
em função de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar nossa equação como
. O Teorema da Função Implícita diz que, se a derivada parcial de
em relação a
no ponto
for diferente de zero, então conseguimos resolver
como função de
e
perto desse ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, isso fica:
Como
, a condição do Teorema da Função Implícita é satisfeita. Isso significa que, sim, podemos expressar
como uma função de
e
perto de
, ou seja, existe
.
Passo 4
Agora, para saber se podemos obter
de forma explícita, precisamos ver se conseguimos isolar
na equação original. Vamos tentar resolver a equação
para
:
Isso é uma equação quadrática em
:
Podemos usar a fórmula de resolução de equações quadráticas:
No entanto, perto de
,
e
são pequenos, e podemos expandir a raiz quadrada em série de Taylor para simplificar. Ainda assim, a expressão final para
em termos de
e
fica um pouco complicada e não é muito “limpa”.
Resposta
Sim, é possível expressar
como uma função de
e
em uma vizinhança de
. Contudo, obter
de maneira explícita resulta em uma expressão complexa, tornando-a não tão prática para uso direto.