Se y z^2 + z + 3 x y = 0, é possível expressar z como uma função de x e y em uma vizinhança de (0, 0, 0) ? Em caso afirmativo, é possivel obter z = f(x, y) de maneira explícita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e queremos saber se dá para escrever como uma função de e perto do ponto . Para isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a resolver equações onde uma variável está “presa” de forma complicada. Precisamos verificar algumas condições desse teorema para ver se dá para isolar em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos tratar nossa equação como . O Teorema da Função Implícita diz que, se a derivada parcial de em relação a no ponto for diferente de zero, então conseguimos resolver como função de e perto desse ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , isso fica:
Como , a condição do Teorema da Função Implícita é satisfeita. Isso significa que, sim, podemos expressar como uma função de e perto de , ou seja, existe .

Passo 4

Agora, para saber se podemos obter de forma explícita, precisamos ver se conseguimos isolar na equação original. Vamos tentar resolver a equação para :
Isso é uma equação quadrática em :
Podemos usar a fórmula de resolução de equações quadráticas:
No entanto, perto de , e são pequenos, e podemos expandir a raiz quadrada em série de Taylor para simplificar. Ainda assim, a expressão final para em termos de e fica um pouco complicada e não é muito “limpa”.

Resposta

Sim, é possível expressar como uma função de e em uma vizinhança de . Contudo, obter de maneira explícita resulta em uma expressão complexa, tornando-a não tão prática para uso direto.

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