Encontre uma decomposição em valores singulares para cada matriz a seguir:
A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 2 \\\\ -3 & 0 & -1 & 0\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em valores singulares (SVD) da matriz
A = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 2\\\\ -3& 0 & -1& 0 \end{pmatrix},
que é 3\times4. Para isso vamos usar que A = U\,\Sigma\,V^T, onde os autovalores de A A^T dão os quadrados dos valores singulares, os autovetores de A A^T formam U e depois obtemos V por v_i = \tfrac1{\sigma_i}A^T u_i, completando com um vetor ortonormal para a nulidade.

Passo 2

Calculemos primeiro
A A^T =\begin{pmatrix}2{,}5&0&-1{,}5\\\ 0&2&0\\\ -1{,}5&0&2{,}5\end{pmatrix}.
Os autovalores desse 3\times3 são \lambda_1=4, \lambda_2=2, \lambda_3=1. Logo os valores singulares são
\sigma_1=\sqrt{4}=2,\quad \sigma_2=\sqrt{2},\quad \sigma_3=\sqrt{1}=1.

Passo 3

Encontramos os autovetores normalizados de A A^T:
para \lambda_1=4 vem
u_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},
para \lambda_2=2 vem
u_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
e para \lambda_3=1 vem
u_3=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim
U = \bigl[u_1\;u_2\;u_3\bigr] =\begin{pmatrix} \tfrac1{\sqrt2}&0&\tfrac1{\sqrt2}\\\\ 0&1&0\\\\ -\tfrac1{\sqrt2}&0&\tfrac1{\sqrt2} \end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos v_i=\tfrac1{\sigma_i}A^T u_i para i=1,2,3:
- Para i=1: A^T u_1=(\sqrt2,0,\sqrt2,0)^T, logo
v_1=\frac1{2}(\sqrt2,0,\sqrt2,0)^T =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},0,\tfrac{\sqrt2}{2},0\bigr)^T.
- Para i=2: A^T u_2=(0,1,0,1)^T, logo
v_2=\frac1{\sqrt2}(0,1,0,1)^T =\bigl(0,\tfrac{\sqrt2}{2},0,\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^T.
- Para i=3: A^T u_3=(-\tfrac1{\sqrt2},0,\tfrac1{\sqrt2},0)^T, logo
v_3=\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},0,\tfrac{\sqrt2}{2},0\bigr)^T.
Como \mathrm{rank}(A)=3, falta um v_4 ortonormal aos anteriores e que satisfaça A v_4=0. Uma escolha conveniente é
v_4=\bigl(0,\tfrac{\sqrt2}{2},0,-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^T.
Montando V=[v_1\,v_2\,v_3\,v_4], temos base ortonormal em \mathbb R^4.

Resposta

U=
\begin{pmatrix} \tfrac1{\sqrt2}&0&\tfrac1{\sqrt2}\\\\ 0&1&0\\\\ -\tfrac1{\sqrt2}&0&\tfrac1{\sqrt2} \end{pmatrix},
\quad \Sigma=
\begin{pmatrix} 2&0&0&0\\\\ 0&\sqrt2&0&0\\\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix},
\quad
V=
\begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt2}{2}&0&-\tfrac{\sqrt2}{2}&0\\\\ 0&\tfrac{\sqrt2}{2}&0&\tfrac{\sqrt2}{2}\\\ \tfrac{\sqrt2}{2}&0&\tfrac{\sqrt2}{2}&0\\\\ 0&\tfrac{\sqrt2}{2}&0&-\tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.

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