Encontre uma decomposição em valores singulares para cada matriz a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em valores singulares (SVD) de
isto é, encontrar matrizes ortogonais
e
e matriz diagonal
tais que
Vamos usar que os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de
(para
e
) e de
(para
).]
Passo 2
Calculamos
Os autovalores são
, de onde os valores singulares são
Passo 3
Para
, escolhemos os autovetores ortonormais de
. Como
, qualquer base ortonormal serve. Tomamos a base canônica:
logo
Passo 4
Agora
:
Dois autovalores são
(mesma multiplicidade de
e
) e outros dois são
. Autovetores normalizados para
:
e para o núcleo
:
Assim, montamos
Passo 5
A matriz
é
com os valores singulares na diagonal principal:
Concluímos que
Resposta
U =
V =
V =