Encontre uma decomposição em valores singulares para cada matriz a seguir:
A=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em valores singulares (SVD) de
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\[6pt]0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix},
isto é, encontrar matrizes ortogonais U e V e matriz diagonal \Sigma tais que
A = U\,\Sigma\,V^{T}.
Vamos usar que os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de A A^{T} (para \Sigma e U) e de A^{T}A (para V).]

Passo 2

Calculamos
A\,A^{T} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\\\ 1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Os autovalores são \lambda_{1}=\lambda_{2}=2, de onde os valores singulares são
\sigma_{1}=\sigma_{2}=\sqrt{2}.

Passo 3

Para U, escolhemos os autovetores ortonormais de A A^{T}. Como A A^{T}=2I_{2}, qualquer base ortonormal serve. Tomamos a base canônica:
u_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
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U=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora A^{T}A:
A^{T}A =\begin{pmatrix}1&0&1&0\\\ 0&1&0&1\\\ 1&0&1&0\\\ 0&1&0&1\end{pmatrix}.
Dois autovalores são 2 (mesma multiplicidade de \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2}) e outros dois são 0. Autovetores normalizados para 2:
v_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e para o núcleo \lambda=0:
v_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Assim, montamos
V=\bigl[v_{1}\;v_{2}\;v_{3}\;v_{4}\bigr].

Passo 5

A matriz \Sigma é 2\times4 com os valores singulares na diagonal principal:
\Sigma =\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0&0&0\\[4pt]0&\sqrt{2}&0&0\end{pmatrix}.
Concluímos que
A = U\,\Sigma\,V^{T}.]

Resposta

U = \displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \displaystyle \Sigma = \begin{pmatrix}\sqrt{2}&0&0&0\\\ 0&\sqrt{2}&0&0\end{pmatrix}
V = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1&0&1&0\\\\ 0&1&0&1\\\\ 1&0&-1&0\\\\ 0&1&0&-1 \end{pmatrix}

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