Encontre uma decomposição em valores singulares para cada matriz a seguir:
A=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em valores singulares (SVD) de
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para isso vamos usar que as singular values são as raízes dos autovalores de A A^T (ou de A^T A), e que as colunas de U e V são os autovetores de A A^T e A^T A, respectivamente.

Passo 2

Calculemos
A A^T =\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&3&0\\\\ 0&0&0&7\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&3&0&0\\\\ 0&0&7&0 \end{pmatrix} =\operatorname{diag}(1,9,49,0).
E também
A^T A =\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&3&0&0\\\\ 0&0&7&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&3&0\\\\ 0&0&0&7\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} =\operatorname{diag}(0,1,9,49).

Passo 3

Os autovalores de A A^T são \{1,9,49,0\}. As singular values são
\sigma_i = \sqrt{\text{autovalor}_i} \quad\Longrightarrow\quad \sigma_1=7,\;\sigma_2=3,\;\sigma_3=1,\;\sigma_4=0.

Passo 4

Como A A^T=\diag(1,9,49,0), seus autovetores ortonormais na ordem de \sigma_1 a \sigma_4 são os vetores-canônicos:
u_1=e_3,\quad u_2=e_2,\quad u_3=e_1,\quad u_4=e_4.
Isto gera a matriz
U=\bigl[u_1\;u_2\;u_3\;u_4\bigr] =\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 5

De modo análogo, A^T A=\diag(0,1,9,49) tem autovetores na ordem de \sigma_1 a \sigma_4:
v_1=e_4,\quad v_2=e_3,\quad v_3=e_2,\quad v_4=e_1.
Assim
V=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\;v_4\bigr] =\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}.

Passo 6

A matriz de valores singulares \Sigma é 4\times 4 diagonal com \sigma_1,\dots,\sigma_4:
\Sigma = \operatorname{diag}(7,3,1,0).
Então a decomposição em valores singulares fica
A = U\,\Sigma\,V^T.

Resposta

U = \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},\quad \Sigma = \begin{pmatrix} 7&0&0&0\\\\ 0&3&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix},\quad V = \begin{pmatrix} 0&0&0&1\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}.

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