Encontre uma decomposição em valores singulares para cada matriz a seguir:
A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ 3 & -5\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em valores singulares (SVD) da matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[6pt] 3 & -5\end{pmatrix}.
Para isso, precisamos encontrar matrizes ortogonais U e V e a matriz diagonal \Sigma com os valores singulares \sigma_1\ge\sigma_2\ge0 tais que
A = U\,\Sigma\,V^T.]

Passo 2

Calcular A^T A para obter os quadrados dos valores singulares:
A^T = \begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix}, \quad A^T A = \begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]3 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25 & -15\\[4pt]-15 & 25\end{pmatrix}.
As autovalores \lambda satisfazem
\det\bigl(A^T A - \lambda I\bigr) = (25-\lambda)^2 - (-15)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; 25-\lambda = \pm15
logo \lambda_1 = 40 e \lambda_2 = 10.
Os valores singulares são
\sigma_1 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}, \qquad \sigma_2 = \sqrt{10}.]

Passo 3

Determinar os autovetores de A^T A e normalizá-los para formar V.
Para \lambda_1 = 40, resolvemos
\begin{pmatrix}-15 & -15\\[4pt]-15 & -15\end{pmatrix} v = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 \propto \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
normalizando,
v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 10, resolvemos
\begin{pmatrix}15 & -15\\[4pt]-15 & 15\end{pmatrix} v = 0 \;\Longrightarrow\; v_2 \propto \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
normalizando,
v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim,
V = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular U pelas colunas \;u_i = \frac{1}{\sigma_i}\,A\,v_i.
Para i=1:
A\,v_1 = A\;\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}4\\\ 8\end{pmatrix}, \quad u_1 = \frac{1}{2\sqrt{10}}\;\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}4\\\ 8\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Para i=2:
A\,v_2 = A\;\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}4\\\ -2\end{pmatrix}, \quad u_2 = \frac{1}{\sqrt{10}}\;\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}4\\\ -2\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.
Portanto,
U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}\\[6pt] \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix}2\sqrt{10} & 0\\[4pt]0 & \sqrt{10}\end{pmatrix}.]

Resposta

A decomposição em valores singulares é
A = U\,\Sigma\,V^T
com
U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}\\[6pt] \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix}2\sqrt{10} & 0\\[4pt]0 & \sqrt{10}\end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.]

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