Encontre uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
Obs.: Para efeito de se conferir os cálculos, os autovalores de A são 1 e 1 / 3.
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização espectral de A, ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{-1}\,,
sabendo que A é simétrica e, portanto, diagonalizável por uma base ortonormal de autovetores. Vamos usar o fato de que para matrizes simétricas reais podemos escolher P^{-1}=P^{T}, e que os autovalores se obtêm pela soma das entradas das linhas (para vetor (1,1,1)) e pelo subespaço ortogonal a (1,1,1).
Passo 2
Para achar os autovalores, observe que a soma dos elementos de cada linha de A é
\frac{1}{3}\bigl(7+(-2)+(-2)\bigr)=1,
logo \lambda_{1}=1 com autovetor correspondente (1,1,1). Em seguida, qualquer vetor v com coordenadas somando zero satisfaz