Considere a matriz simétrica
A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc} 7 & -2 & -2 \\\\ -2 & 7 & -2 \\\\ -2 & -2 & 7 \end{array}\right]
Encontre uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
Obs.: Para efeito de se conferir os cálculos, os autovalores de A são 1 e 1 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização espectral de A, ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{-1}\,,
sabendo que A é simétrica e, portanto, diagonalizável por uma base ortonormal de autovetores. Vamos usar o fato de que para matrizes simétricas reais podemos escolher P^{-1}=P^{T}, e que os autovalores se obtêm pela soma das entradas das linhas (para vetor (1,1,1)) e pelo subespaço ortogonal a (1,1,1).

Passo 2

Para achar os autovalores, observe que a soma dos elementos de cada linha de A é
\frac{1}{3}\bigl(7+(-2)+(-2)\bigr)=1,
logo \lambda_{1}=1 com autovetor correspondente (1,1,1). Em seguida, qualquer vetor v com coordenadas somando zero satisfaz
A\,v =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 7 & -2 & -2\\\\ -2&7&-2\\\\ -2&-2&7 \end{pmatrix} v =3\,v,
de onde \lambda_{2}=\lambda_{3}=3.

Passo 3

Escolhemos agora autovetores independentes:
Para \lambda_{1}=1, tome
v_{1}=(1,1,1).
Para \lambda=3, dois vetores no subespaço soma zero, por exemplo
v_{2}=(1,-1,0), \quad v_{3}=(1,1,-2).

Passo 4

Ortonormalizamos esses vetores:
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad u_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\quad u_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).

Passo 5

Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são u_{1},u_{2},u_{3}, e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Verifica-se que P^{T}P=I e que A = P\,D\,P^{T}, ou seja, P^{-1}=P^{T}.]

Resposta

P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},\quad A = P\,D\,P^{-1}\text{ com }P^{-1}=P^{T}.]

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