Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a derivada da função
e (2) identificar o domínio de
e o domínio da derivada
. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado: a base da exponencial é
(produto de
por
, onde
é a constante de Euler) e o expoente é
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que vamos usar (a explicação didática): se temos uma função da forma
, com
constante e
uma função diferenciável, então a derivada é dada pela regra
Por que isso vale? Intuitivamente, usamos que
e então aplicamos a regra da cadeia para
. Formalmente:
Aqui
é a derivada do fator linear
em relação a
.
Passo 3
Agora identifiquemos as partes na nossa função:
Verificamos que
, então a fórmula do passo anterior pode ser aplicada.
Passo 4
Calculemos
. Como
, usando a regra do poder (derivada de
é
), obtemos
Passo 5
Aplicando a fórmula da derivada para exponencial com mudança de variável:
Podemos simplificar
usando
. Assim uma forma mais simplificada é
Essa é a expressão final da derivada, obtida passo a passo pela regra da cadeia e pela fórmula da derivada de
.
Passo 6
Agora os domínios. Primeiro, domínio de
: uma exponencial com base positiva aceita qualquer expoente real, logo
está definida para todo
. Em notação intervalar:
Explicação simples:
e elevar um número positivo a qualquer número real é sempre definido.
Passo 7
Domínio da derivada
: a expressão de
é produto de funções elementares bem definidas para todo
(polinômio
, constante
, e exponencial
). Portanto
também está definida para todo
:
Observação útil:
é uma função par (pois depende de
), então
é ímpar e
.