Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
f(x)=(3 e)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a derivada da função f e (2) identificar o domínio de f e o domínio da derivada f'. A função dada é
f(x)=(3e)^{x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a base da exponencial é 3e (produto de 3 por e, onde e é a constante de Euler) e o expoente é x^{2}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que vamos usar (a explicação didática): se temos uma função da forma \,F(x)=a^{u(x)}, com a>0 constante e u(x) uma função diferenciável, então a derivada é dada pela regra
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Por que isso vale? Intuitivamente, usamos que a^{u}=e^{u\ln a} e então aplicamos a regra da cadeia para e^{\cdot}. Formalmente:
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=\frac{d}{dx}e^{u(x)\ln a}=e^{u(x)\ln a}\cdot\big(u'(x)\ln a\big)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Aqui \ln(a) é a derivada do fator linear u(x)\ln a em relação a u.

Passo 3

Agora identifiquemos as partes na nossa função:
a=3e \quad\text{e}\quad u(x)=x^{2}.
Verificamos que a=3e>0, então a fórmula do passo anterior pode ser aplicada.

Passo 4

Calculemos u'(x). Como u(x)=x^{2}, usando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}), obtemos
u'(x)=2x.

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada para exponencial com mudança de variável:
f'(x)=(3e)^{x^{2}}\ln(3e)\cdot 2x.
Podemos simplificar \ln(3e) usando \ln(3e)=\ln 3 + \ln e=\ln 3 + 1. Assim uma forma mais simplificada é
f'(x)=2x\big(\ln 3 + 1\big)(3e)^{x^{2}}.
Essa é a expressão final da derivada, obtida passo a passo pela regra da cadeia e pela fórmula da derivada de a^{u(x)}.

Passo 6

Agora os domínios. Primeiro, domínio de f: uma exponencial com base positiva aceita qualquer expoente real, logo f está definida para todo x\in\mathbb{R}. Em notação intervalar:
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty).
Explicação simples: 3e>0 e elevar um número positivo a qualquer número real é sempre definido.

Passo 7

Domínio da derivada f': a expressão de f' é produto de funções elementares bem definidas para todo x\in\mathbb{R} (polinômio 2x, constante \ln3+1, e exponencial (3e)^{x^{2}}). Portanto f' também está definida para todo x\in\mathbb{R}:
\text{Dom}(f')=(-\infty,\infty).
Observação útil: f é uma função par (pois depende de x^{2}), então f' é ímpar e f'(0)=0.

Resposta

f'(x)=2x\big(\ln 3 + 1\big)(3e)^{x^{2}}
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty)
\text{Dom}(f')=(-\infty,\infty)

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