Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
f(x)=4^{-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para cada função: (1) encontrar a derivada; (2) identificar o domínio da função; (3) identificar o domínio da derivada. A função dada é \displaystyle f(x)=4^{-\sqrt{x}}. Informações relevantes imediatamente visíveis no enunciado: a base da potência é 4 (positiva), o expoente é -\sqrt{x} e há uma raiz quadrada de x. Ainda não começamos a calcular nada — aqui só listei o que o problema pede e os dados que temos.

Passo 2

Determinar o domínio de f. A expressão \sqrt{x} exige que o radicando seja não negativo, ou seja, \,x\ge 0. A potência 4^{(\cdot)} está bem definida para qualquer expoente real porque a base 4>0. Logo o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}=[0,\infty).

Passo 3

Relembrando duas ferramentas que vamos usar (vou explicar devagarinho):
  1. Derivada de uma exponencial com base a>0. Se \,y=a^{u(x)}, escrevemos a^{u}=e^{u\ln a}. A derivada é então dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\cdot \ln a \cdot u'(x).
Aqui \ln a é o logaritmo natural de a e u'(x) é a derivada do expoente.
  1. Derivada da raiz quadrada (regra da potencia). Para u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} com x>0,
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observe que esta fórmula só vale para x>0 (na forma escrita com \sqrt{x}); em x=0 a expressão \frac{1}{2\sqrt{x}} explode, então precisa-se checar diferenciabilidade separadamente em x=0.

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada da exponencial com a=4 e u(x)=-\sqrt{x}. Para x>0 podemos calcular u'(x) usando a regra da potência:
u(x)=-\sqrt{x}=-x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=-\frac{1}{2}x^{-1/2}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Agora aplicamos a fórmula:
\frac{d}{dx}4^{-\sqrt{x}}=4^{-\sqrt{x}}\cdot \ln 4 \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right),
válida para x>0.

Passo 5

Simplificando a expressão da derivada para x>0:
f'(x)=-\frac{\ln 4}{2\sqrt{x}}\;4^{-\sqrt{x}},\qquad x>0.
Aqui cada parte tem significado: 4^{-\sqrt{x}} é a própria função, \ln 4 surge da derivada da base 4 quando usamos e^{(\cdot)}, e -\tfrac{1}{2\sqrt{x}} é a derivada do expoente -\sqrt{x}.

Passo 6

Agora é crucial verificar se a derivada existe em x=0. Precisamos analisar o limite do quociente incremental à direita (já que o domínio é [0,\infty)):
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{4^{-\sqrt{h}}-1}{h},
pois f(0)=4^{-\sqrt{0}}=4^0=1. Para estudar esse limite é útil pôr t=\sqrt{h}, então h=t^2 e t\to0^+. O quociente fica
\frac{4^{-t}-1}{t^2}.
Escrevendo 4^{-t}=e^{-t\ln 4} e usando que \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1, temos 4^{-t}-1 = e^{-t\ln4}-1 \sim -t\ln4 quando t\to0. Assim
\frac{4^{-t}-1}{t^2}\sim\frac{-t\ln4}{t^2}=-\frac{\ln4}{t}\quad\text{quando }t\to0^+,
e esse termo diverge para -\infty. Mais formalmente, escrevendo u=-t\ln4 e usando \frac{e^{u}-1}{u}\to1, obtemos
\frac{4^{-t}-1}{t^2}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{t^2}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\left(-\frac{\ln4}{t}\right)\to 1\cdot(-\infty)=-\infty.
Logo o limite do quociente incremental não é um número finito; a derivada à direita em 0 não existe (tende a -\infty). Portanto f não é diferenciável em x=0.

Passo 7

Conclusões sobre domínios:
  • O domínio da função é [0,\infty).
  • A fórmula que encontramos para f'(x) é válida apenas para x>0.
  • Em x=0 a derivada não existe (o quociente incremental diverge para -\infty). Assim o domínio da derivada é (0,\infty).

Resposta

f'(x)=-\dfrac{\ln 4}{2\sqrt{x}}\,4^{-\sqrt{x}} para x>0.
Domínio de f: [0,\infty).
Domínio de f': (0,\infty).

Exercícios relacionados