Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
Passo 1
O enunciado pede para cada função: (1) encontrar a derivada; (2) identificar o domínio da função; (3) identificar o domínio da derivada. A função dada é
. Informações relevantes imediatamente visíveis no enunciado: a base da potência é
(positiva), o expoente é
e há uma raiz quadrada de
. Ainda não começamos a calcular nada — aqui só listei o que o problema pede e os dados que temos.
Passo 2
Determinar o domínio de
. A expressão
exige que o radicando seja não negativo, ou seja,
. A potência
está bem definida para qualquer expoente real porque a base
. Logo o domínio de
é
Passo 3
Relembrando duas ferramentas que vamos usar (vou explicar devagarinho):
- Derivada de uma exponencial com base
. Se , escrevemos . A derivada é então dada pela regra da cadeia:
Aqui
é o logaritmo natural de
e
é a derivada do expoente.
- Derivada da raiz quadrada (regra da potencia). Para
com ,
Observe que esta fórmula só vale para
(na forma escrita com
); em
a expressão
explode, então precisa-se checar diferenciabilidade separadamente em
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da derivada da exponencial com
e
. Para
podemos calcular
usando a regra da potência:
Agora aplicamos a fórmula:
válida para
.
Passo 5
Simplificando a expressão da derivada para
:
Aqui cada parte tem significado:
é a própria função,
surge da derivada da base
quando usamos
, e
é a derivada do expoente
.
Passo 6
Agora é crucial verificar se a derivada existe em
. Precisamos analisar o limite do quociente incremental à direita (já que o domínio é
):
pois
. Para estudar esse limite é útil pôr
, então
e
. O quociente fica
Escrevendo
e usando que
, temos
quando
. Assim
e esse termo diverge para
. Mais formalmente, escrevendo
e usando
, obtemos
Logo o limite do quociente incremental não é um número finito; a derivada à direita em
não existe (tende a
). Portanto
não é diferenciável em
.
Passo 7
Conclusões sobre domínios:
- O domínio da função é
. - A fórmula que encontramos para
é válida apenas para . - Em
a derivada não existe (o quociente incremental diverge para ). Assim o domínio da derivada é .
Resposta
Domínio de
Domínio de