Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada
; (2) identificar o domínio de
e o domínio de
. Informação relevante fornecida: a expressão contém
, o que limita os valores de
que podemos usar (isso vamos explicitar adiante).
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz o seguinte:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a ; - o produto
combina as taxas de variação de ambos os fatores.
No nosso caso vamos escolher convenientementee para aplicar essa regra.
Passo 3
Precisamos também da derivada de
. Para entender isso, escrevemos
em termos do logaritmo natural (que tem derivada simples):
onde
é o logaritmo natural e
é uma constante (número). A derivada de
em relação a
é
para
. Como
é constante, aplicando a regra da constante multiplicativa obtemos
válido quando
. Aqui
é apenas um número (aproximadamente
).
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto a
. Escolhemos
As derivadas desses fatores são
Aplicando
obtemos
Agora simplificamos o segundo termo:
. Portanto
Passo 5
Podemos reescrever
como
, porque
. Assim uma forma alternativa e compacta é
pois
. Ambas as formas estão corretas e podem ser úteis dependendo do contexto.
Passo 6
Agora os domínios. A função
só está definida para
. Logo o domínio de
é
Quanto à derivada que obtivemos,
, essa expressão também requer
definido, portanto
está definida para os mesmos
. Observação: no processo de derivação apareceu inicialmente
, mas esse
foi cancelado; mesmo assim a condição
permanece necessária por causa do
.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: em
temos
, então
Isso confirma que a fórmula funciona para um ponto simples e está dentro do domínio identificado.
Resposta
Domínio de
Domínio de