Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
f(t)=t \log _{10} t

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(t)=t\log_{10}t e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada f'(t); (2) identificar o domínio de f e o domínio de f'. Informação relevante fornecida: a expressão contém \log_{10}t, o que limita os valores de t que podemos usar (isso vamos explicitar adiante).

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para derivar f(t)=u(t)\,v(t). A regra do produto diz o seguinte:
\text{se } u=u(t)\text{ e }v=v(t),\text{ então }(uv)'=u'v+uv'.ã
Aqui cada símbolo significa:
  • u'(t) é a derivada de u em relação a t;
  • v'(t) é a derivada de v em relação a t;
  • o produto u'v+uv' combina as taxas de variação de ambos os fatores.
    No nosso caso vamos escolher convenientemente u(t) e v(t) para aplicar essa regra.

Passo 3

Precisamos também da derivada de \log_{10}t. Para entender isso, escrevemos \log_{10}t em termos do logaritmo natural (que tem derivada simples):
\log_{10}t=\frac{\ln t}{\ln 10},
onde \ln é o logaritmo natural e \ln 10 é uma constante (número). A derivada de \ln t em relação a t é \dfrac{1}{t} para t>0. Como \ln 10 é constante, aplicando a regra da constante multiplicativa obtemos
\frac{d}{dt}\big(\log_{10}t\big)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\ln t}{\ln 10}\right)=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{1}{t}=\frac{1}{t\ln 10},
válido quando t>0. Aqui \ln 10 é apenas um número (aproximadamente 2,302585\ldots).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto a f(t)=t\log_{10}t. Escolhemos
u(t)=t,\qquad v(t)=\log_{10}t.
As derivadas desses fatores são
u'(t)=1,\qquad v'(t)=\frac{1}{t\ln 10}\quad\text{(para \(t>0\))}.
Aplicando (uv)'=u'v+uv' obtemos
f'(t)=1\cdot\log_{10}t + t\cdot\frac{1}{t\ln 10}.
Agora simplificamos o segundo termo: t\cdot\frac{1}{t\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}. Portanto
f'(t)=\log_{10}t+\frac{1}{\ln 10}.

Passo 5

Podemos reescrever \dfrac{1}{\ln 10} como \log_{10}e, porque \log_{10}e=\dfrac{\ln e}{\ln 10}=\dfrac{1}{\ln 10}. Assim uma forma alternativa e compacta é
f'(t)=\log_{10}t+\log_{10}e=\log_{10}(et),
pois \log_{10}a+\log_{10}b=\log_{10}(ab). Ambas as formas estão corretas e podem ser úteis dependendo do contexto.

Passo 6

Agora os domínios. A função \log_{10}t só está definida para t>0. Logo o domínio de f é
\{t\in\mathbb{R}\mid t>0\}.
Quanto à derivada que obtivemos, f'(t)=\log_{10}t+\dfrac{1}{\ln 10}, essa expressão também requer \log_{10}t definido, portanto f' está definida para os mesmos t>0. Observação: no processo de derivação apareceu inicialmente \dfrac{1}{t\ln 10}, mas esse t foi cancelado; mesmo assim a condição t>0 permanece necessária por causa do \log_{10}t.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: em t=1 temos \log_{10}1=0, então
f'(1)=0+\frac{1}{\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}\approx 0,43429.
Isso confirma que a fórmula funciona para um ponto simples e está dentro do domínio identificado.

Resposta

f'(t)=\log_{10}t+\dfrac{1}{\ln 10} \
Domínio de f: \{t\in\mathbb{R}\mid t>0\} \
Domínio de f': \{t\in\mathbb{R}\mid t>0\}

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